非对称加密之RSA算法
有个胖子他姓杨
发表于 2022-12-6 20:25:48
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1977年,MIT的三位老师Rivest、Shamir和Adleman设计了一种算法,可以实现非对称加密。这种算法以他们三个人的名字命名为RSA。RSA算法是使用最为广泛的非对称加密算法。RSA加密利用了单向函数正向求解很简单,反向求解很复杂的特性。2 n6 H A0 a$ [5 z9 }% `
& a* g: P, f% i7 y; w
具体是利用了:
1.对两个质数相乘容易,而将其合数分解很难。即n=p1*p2,已知p1、p2求n简单,已知n求p1、p2困难。2 j7 o1 @8 d7 Z7 G
2.(m^e)modn=c,已知m、e、n求c简单,已知e、n、c求m很难。( ^2 k7 Z% V1 d3 T
原理
RSA加密,实现了公开密钥,就是A可以给所有人发送公钥,其他人把要加密的信息用这把公钥加密后发送给A,A用私钥解密就可以获得加密的信息了。反过来,A要发送加密信息给B,只要知道B的公钥就可以了,而这个公钥是公开的。
5 k! h1 Z" J. g
公钥n、e的生成:随机选取两个质数p1、p2,n=p1*p2,再随机选取一个整数e,e与φ(n)互质。
" U% ], g9 |1 \/ {
加密过程:(m^e)modn=c,其中m为原信息,c为密文,n、e为公钥。
解密过程:(c^d)modn=m,其中d为解密密钥。
解密密钥d的求解:' _; s; a0 ]1 O
(c^d)modn=(((m^e)modn)^d)modn=((m^e)^d)modn=(m^ed)modn
费马定理:
若p是素数,a与p互素,则a^(p-1)≡1(modp)
5 `5 z7 S1 B7 d3 s% S/ S
举例% Q0 H- o5 p: \! W0 M
加密过程举例(1):
- j; G3 D* {, C; Q/ z5 c& w ?& `
1.挑选两个质数,如p=61和q=53/ w/ L0 n* d8 t! Y
2.计算N=p*q=3233
3.计算(p-1)(q-1)=60*52=3120【这一步可以计算(p-1)和(q-1)的最小公倍数,从而使得计算的d比较小;17关于780的模逆是413,比2753要小】
% d% e; C3 _2 F) y6 x( v; t
4.选择与3120互质的一个数e=17
# t0 x8 O$ i1 Q! x
5.计算得出d,使得d是e关于3120的模逆,得出d=2753
6.如果明文是5,那么密文是5^17(mod3233)=3086' w& @9 O8 G9 O! A) `
7.解密,3086^2753(mod3233)=5
关于模逆:先用“辗转相除法”…
加密过程举例(2)-中间人:( Y: G% R! ]1 Q
A:有一个公钥n、e。例如:3127、3。- O3 n" @! a" e/ j
) G6 b8 m& c. f# T3 }$ G
B:有一个信息m。例如:89。, B5 f8 M- _( k9 o4 n; I4 j
3 | r/ _- K+ w# q4 A N+ Q
C:偷听者
% w# Q$ c D b5 L; \
A:
第一步:随机找两个质数p1、p2,一个奇数e。例如:53、59、3。' i: U% l: o, K$ f+ ~; Z
第二步:计算n=p1*p2得到n,计算欧拉函数φ(n)=(p1-1)*(p2-1)得到φ(n),计算钥匙d=(k*φ(n)+1)/e得到d。
( P# k1 N8 N7 W3 W/ k1 N9 s
例如:53*59=3127、(53-1)*(59-1)=3016、(k*φ(n)+1)/e=(2*3016+1)/3=2011。& b, k; [# L$ U$ o& Z! i
第三步:发送n、e给大家知道//n、e就是公钥,d就是密钥。4 |5 k4 R! c; B2 c. A; d
: a- b1 C! U j8 K
C:获得n、e( J3 u! O1 }6 [( r9 g9 r
B:
; f( `$ D {8 l" ^5 w: E1 b6 `
第一步:获得n、e
第二步:加密信息m,(m^e)modn=c,获得加密信息c。例如:(89^3)mod3127=1394。
第三步:发送c给A* p h' O+ D' \& _
C:3 s+ W% v3 K9 M, p- b
|' B, ]+ U3 ~$ x* e
第一步:截获加密信息c
6 f* Q5 ]5 |4 G
第二步:破解信息c,此时C只有n、e、c,只有把n分解质因数才能破解,而此分解很困难特别是当n很大的时候。 E4 e1 u5 @* w$ s/ h
A:5 a `& _7 U0 l) e, N+ c6 E
6 `$ q1 P- O% R! v' H3 E
第一步:收到加密信息c' X: x' v5 Z7 n$ O+ U
4 ^8 C$ {! d+ ?7 [, ]
第二步:解密信息c,(c^d)modn=m,获得信息m。例如:(1394^2011)mod3127=89。
# ^* R, y" e, h+ A( j4 [
完成9 r j# {) [2 [
% h, O! ^6 Y' Z
安全性3 Q3 `5 U0 b# j8 t7 Y
- e5 [( M# M3 k$ h+ D
为什么RSA是不会被破解的呢?! a V2 j+ L/ V, M% G) _
为了解密,关键是要找出私钥。如果已知(p-1)(q-1),那么就很容易算出来私钥。而为了获得(p-1)(q-1),就需要知道p和q的值。为了获得p和q的值,就必须对N进行因式分解。
( b* \! m7 Z. d% T' \ a
1874年,WilliamStanleyJevons就在自己的书《科学的原则》中写道:
读者中有人能发现是哪两个数的乘积为8616460799吗?我想这个答案只有我自己知道。% Z |+ m+ x. P9 S8 S
书中他描述了单向函数(one-wayfunction)与密码学的关系,还提出了因子分解问题可以用作创建trapdoor函数。4 [) |. M; o( ~& E" ~
" P# f+ K( S" B. k9 h) w3 ]/ b
到目前为止,关于RSA可靠性的描述:) Z% R0 ?3 W H, M
& n0 F8 o; v" J6 a0 Z; c5 [2 h
对极大整数做因数分解的难度决定了RSA算法的可靠性。换言之,对一极大整数做因数分解愈困难,RSA算法愈可靠。
1 v# J' s% Q6 h. R% h! \
假如有人找到一种快速因数分解的算法,那么RSA的可靠性就会极度下降。但找到这样的算法的可能性是非常小的。今天只有短的RSA密钥才可能被暴力破解。到2008年为止,世界上还没有任何可靠的攻击RSA算法的方式。
! I$ Q `0 a# J c3 Q
只要密钥长度足够长,用RSA加密的信息实际上是不能被解破的。
RSA的正确性:6 d& L( m9 h, c0 i1 J1 Z, K
可以使用欧拉函数和欧拉定理来证明。
(这个证明还必须补充一部分就是m和n不互质的情况。欧拉定理只是在m和n互质时才有用。)$ p: ^3 P' } B3 c; \
( z# s6 v# S+ F1 r6 e
如果m和n不互质,因为n是两个质数p和q的乘积,所以m必然是p或q的倍数(因为要求m* x7 s4 w' ^! j7 Y0 N8 {" T
! k, b! }# Z- d# w$ L% A3 G
那么问题来了,如果黎曼猜想真的被证明了,那么RSA算法的可靠性是否会成空中楼阁呢?
4 Z7 {' k( X& g' K v0 ~
应用/ F% a& v. x' U8 k
8 ~) z, g! ]7 l4 v/ V n" D
RSA的应用:数字签名/ h5 p& c2 v2 P/ Z! Q$ ~* q+ |
' q/ d0 H$ W; {2 N( ]0 q a% \
最普遍的应用,网站身份认证。如何证明我们连上的网站就是支付宝alipay呢?如果因为各种原因,如域名污染,我们的浏览器访问了攻击者网站,这时一定要进行验证。% V7 d, G. h& I& Y" r+ @
6 }7 d0 t2 K% n J5 i' v
验证,就是要检查一个证书。当我们以HTTPS的方式连上一个网站时,网站会首先给我们发送一个证书。这个证书里包含有它的域名、公钥等信息。同时这个证书是由专门的第三方公信机构CA使用自己的私钥签了名的。浏览器在拿到这个证书之后,首先用第三方公信机构CA的公钥对这个证书解密,然后查看和比对证书里的域名和浏览器地址栏的域名,完全匹配才认为是正确的网站。5 b2 L$ b, q* }+ Q3 k' e. R& p7 _
如果域名被污染,虽然攻击者网站可以拷贝一份正常网站的证书,但是因为证书中包括了正常网站的公钥,如果它不能获得正常网站的私钥,那么它就没有办法对加密信息进行解密。从而不能正常建立连接。
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