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比特池塘 区块链技术 正文

理解 BLS 签名算法

茵665
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编者注:BLS 签名算法是一种可以实现签名聚合和密钥聚合的算法(即可以将多个密钥聚合成一把密钥,将多个签名聚合成一个签名)。在以太坊未来的 Casper 实现中,有非常多的验证者都要对区块签名,要保证系统的安全性,同时节约存储空间,就需要用到这类签名聚合的算法。
7 u( y# l! A/ t: `( N
之前的文章中,我介绍了 Schnorr 签名算法和它的优势。现在,我来介绍下 BLS(Boneh-Lynn-Shacham)签名算法以及它相比 Schnorr 的优胜之处。! w5 f5 t  U0 K$ _9 j
长话短说,我们已经知道:- l. V7 h1 l8 k8 B$ Z
ECDSA 签名算法已经足够胜任它的工作,但也仅限于此。它无法做签名聚合或者密钥聚合,因此只能挨个对签名进行验证。在验证多重签名的交易时,此举过于繁琐,我们需要逐个验证所有的签名及其对应的公钥,耗费大量的区块空间和交易费。" |% X  r* J* E9 z6 s* o
Schnorr 签名算法就好多了,它可以把一笔交易中的所有签名和公钥合并成单个签名和公钥,且合并过程不可见(无从追溯这个签名或公钥是否通过合并而来)。另外,可以一次性对合并后的签名做验证,加快了区块验证的速度。当然,该算法也有一些不足:
( T& Z' X0 e/ e) h$ o. F多重签名需要多次(签名者之间的)通信,这对冷钱包来说过于麻烦。聚合签名算法依赖随机数生成器,而不像 ECDSA 那样可以使用指定的随机点(R)m-n 多重签名机制比较取巧,需要构建公钥的默克尔树。当 m 和 n 较大时,树所占空间会相当大。无法把一个区块中的所有签名聚合成一个签名BLS 签名算法可以解决以上问题。它不需要随机数生成器,可以将区块中的所有签名聚合成一个,容易实现 m-n 多重签名,也可以避免签名者之间的多余通信。除此之外,BLS 签名的长度更短(签名为椭圆曲线上的一个点而非两个),是 Schnorr 或 ECDSA 的 2 分之一。听起来完美!那么让我们看看 BLS 签名算法的工作原理。- D8 C; T& |* Y0 u( K; E
BLS 签名算法的魔力进入正题前,我们先来了解两个基础概念,曲线哈希(hashingto the curve,或译作 “哈希成曲线上的点”)和曲线配对(curves pairing)。
, r8 n6 d# L  E: l曲线哈希在 ECDSA 和 Schnorr 签名算法中,我们对消息进行哈希计算后,结果(哈希值)是数字。BLS 签名算法则不同,它略微修改了哈希算法,结果对应到椭圆曲线上(的一个点)。最简单的修改是:哈希函数保持不变,将得到的哈希值作为点的 x 值寻找椭圆曲线上的对应点。通常来说(比如比特币所用的曲线),椭圆曲线有 2??? 个点,而 SHA-256 哈希算法的值也恰好是 256 位。不过,一个有效的 x 坐标,会对应一正一负两个 y 坐标(因为(x, y)和(x, -y)都是曲线 y?=x?+ax+b 上的点)。换句话说,新的哈希算法大约有 50% 的概率在曲线上找到 2 个对应点,另 50% 的概率则一个点也找不到(校对注:因为椭圆曲线只有 2^256 个点,如果要让每个哈希值都能找到对应点,椭圆曲线得有 2^257 个点才行)。' M' b3 ^( a2 x5 B5 r$ T  R. e
以在模为23的有限域上定义的椭圆曲线 y?=x?+7 为例。只有一半的 x 坐标在曲线上能找到对应点。此例中,我们尝试三次才成功找到对应点。0 @* Y. @8 g, @8 a9 a! G5 C7 B- d
对消息求哈希时,为确保能在曲线上找到对应的点,可以在消息体后附加一个数,若(寻找对应点)失败则累加该数并重新计算。即如果 hash(m||0) 没有找到对应点,则持续尝试 hash(m||1), hash(m||2) 等,直到找到为止。当找到对应点后,在 2 个点中选择 y 坐标较小的那个作为结果即可。
' Y2 x) u6 D9 y4 N8 e9 n曲线配对我们还需要一个特殊的函数,能够把一条(或2条不同的)曲线上的两个点 PQ 映射为一个数:3 _% F5 i8 [4 x' c, V
e(P, Q) → n此函数还要有一个重要的特性。即对于未知数 x 和两个点 PQ ,无论哪个点乘以 x,结果相同,即
0 ~1 q9 W0 w1 X9 H; c, t% ge(x*P, Q) = e(P, x*Q)如此,除了乘数交换仍能保持等式成立外,更进一步,以下所有的交换都要保持等式成立:6 T* _5 I; k3 `7 ^( s
e(a*P, b*Q) = e(P, ab*Q) ) _4 y, j$ y3 z
            = e(ab*P, Q)
/ i9 e, d! B7 y2 `$ k: d            = e(P, Q)^(ab)我不准备解释这个函数是如何工作的。背后的数学原理相当复杂,如果你想知道所有 “令人厌烦” 的细节,我建议你参考这篇文章。如果你还想深入,可以研读这篇论文,它通篇讲述配对(pairings)理论。当前,我们只要假设这种函数存在,并且不会暴露 x 的任何相关信息。3 h1 H$ P9 E# ]
值得注意的是,配对函数中不能使用任何椭圆曲线(特别是比特币的 secp256k1 椭圆曲线)。我们必须使用非常特殊的曲线(通常出自易于配对的曲线簇),才能保证函数的效率和安全。
- t) c  _- f' w# y7 E1 EBLS 签名方案现在,所有构建 BLS 签名算法的基础知识已经齐备。我们用 pk 代表私钥,P = pk*G 代表公钥,m 代表要签名的消息。
+ e% c  _5 d$ L1 @' L为了计算签名,先对消息求曲线哈希 H(m) ,再将获取的结果(曲线坐标点)乘以私钥即可:S = pk*H(m)。大功告成!不需要随机数,不需要额外的步骤,仅仅将哈希结果乘以私钥即可。签名结果是一个曲线上的点,用压缩的序列化格式保存,只占 33 个字节。
( i4 l/ q6 |4 h3 p) c: ]-生成 BLS 签名。将消息的哈希结果乘以私钥即可-我们可以使用公钥 P 来验证签名,即 e(P, H(m)) = e(G, S) 。这是为什么呢?
# d5 a9 f3 O+ q  [) C4 ^如前所述,配对函数的特性使得如下等式成立:- {6 m0 w& b" j
e(P, H(m))  = e(pk*G, H(m)) 9 d* X7 l) t8 f2 \
            = e(G, pk*H(m)) 9 K. N' d0 Q4 E- }- d9 q% b
            = e(G, S)" o$ v7 E1 c, i" m( z+ l
- BLS 签名验证。我们只需验证 公钥和消息的哈希值(曲线上两个点) 与 曲线生成点和签名(曲线上另两个点) 是否映射到同一个数(若是则说明这是一个有效的 BLS 签名)-这个签名方案优美简单。对于比特币来说,该方案还有以下更棒的特性。, P0 v7 ~$ q) l9 k8 J, z1 O
签名聚合现在让我们把区块中的签名都聚合在一起。假设一个区块中有 1000 笔交易,每笔交易都由 Si(签名),Pi (公钥)和 mi(消息)组成(i 在这里表示序号)。如果这些签名可以被合并,那又何必分开保存呢?毕竟,我们只关心区块中所有的签名(而不是每一个)是否正确。为获得聚合签名,只需要将区块中的所有签名加起来:
! u, J) h# G( H0 ^9 JS = S1 + S2 +…+ S1000为验证该区块是否正确,我们需要保证以下等式成立:0 z, a; ?$ g& j# X; W8 r' H
为验证该区块是否正确,我们需要保证以下等式成立:, u0 r; }3 b  m
e(G, S) = e(P1, H(m1)) * e(P2, H(m2)) *…* e(P1000, H(m1000))如果签名都有效,那么该等式的确是成立的:
  `# j: B7 P6 d, ^( w7 P& Be(G, S) = e(G, S1+S2+…+S1000) 2 v8 ]1 @1 R2 ?( j! @" J6 f
        = e(G, S1) × e(G, S2) *…* e(G, S1000)
( B% h9 c8 M( ]# }( G        = e(G, pk1×H(m1)) *…* e(G, pk1000×H(m1000))
" g( ^2 e0 w) R5 [, A- L        = e(pk1×G, H(m1)) *…* e(pk1000×G, H(m1000))
0 c: B" Q: J2 r4 E  N9 J        = e(P1, H(m1)) × e(P2, H(m2)) *…* e(P1000, H(m1000))这里我们仍需用到所有的公钥,并计算 1001 次配对函数,好处是,区块中的签名只占 33 字节了。签名聚合可以由矿工在挖矿时完成,节省大量的区块空间。" ^0 [7 L- v7 T8 h/ i( _; ]) n
密钥聚合和 n-n 多重签名使用多重签名的地址时,我们会对同一笔交易用不同的密钥进行签名。这种情况下,可以和 Schnorr 算法一样使用聚合密钥,把所有密钥和签名聚合成单个公钥和签名。下面我们以 3-3 多重签名方案为例(同理可推导任意数量的多重签名方案)。
3 i) ?1 Y4 @1 t& B# J( b一种简单的聚合方法,是把所有的签名和密钥加起来即可。如此,签名聚合结果为 S=S1+S2+S3,密钥聚合结果为 P=P1+P2+P3。可以验证以下等式依然成立:
8 {7 p3 m' R1 Q1 }/ O. [3 pe(G, S) = e(P, H(m))因为:/ S- n8 l' x( B% l! K# x
e(G, S) = e(G, S1+S2+S3)
+ D1 M9 U3 B( y' ~- c        = e(G, (pk1+pk2+pk3)×H(m)) 4 R" F: I: }" {7 Q& L# B& W& A
        = e((pk1+pk2+pk3)×G, H(m))
" q, r' z3 I2 ^5 L0 c+ H; v) [$ @        = e(P1+P2+P3, H(m)) = e(P, H(m))和 Schnorr 一样,我们也需要杜绝伪造密钥攻击。一种方法是要求每个签名参与者证明它拥有公钥对应的私钥(用私钥给公钥签名)。另一种方法是加入非线性系数,使得攻击无法实施。要做到这一点,聚合不再是简单的将多个密钥和签名相加,而是将它们分别乘以某个系数后再相加:! _+ H. Z  s  e" v) w- @% N
S = a1×S1+a2×S2+a3×S3
" F* I  B: F; j" iP = a1×P1+a2×P2+a3×P3
; H( ^1 t) m* L" E& Y1 W% q0 _6 i公式中签名和密钥的系数,可以通过签名者以及其它所有人的公钥计算得出,公式如下:2 r* ]! C8 a$ N+ A: F) J! u8 E
ai = hash(Pi, {P1,P2,P3})举个例子,可以简单的将签名者的公钥和所有人公钥拼接在一起算出系数:- ]) D; V' V  f) ]5 |8 y
ai = hash(Pi||P1||P2||P3)此时,上面的验证公式依然成立。虽然多了系数 ai,但计算逻辑未变。% t$ o  F9 E0 {
该方案的好处是,无需在设备间进行多轮通信,只需知晓其它签名者的相应信息即可。它可比 Schnorr 算法(需要 3 轮通信)的多重签名方案简单多了。这个方案也不依赖随机性,是一种具有完全确定性的签名算法。
/ U$ D- ^+ g) R" [子群多重签名方案(m-n 多重签名)n-n 多重签名并不常见,我们更倾向使用 m-n 多重签名(比如 2-3 多重签名)。我们不想因为丢失(n 个密钥中的)一个密钥而一无所有。密钥聚合非常适合这种场景。在 Schnorr 签名算法中,我们用公钥组成的默克尔树来实现密钥聚合,这种方式效率不高,但是将将堪用。不幸地是,当 m 和 n 的值变大时,默克尔树的大小会呈指数增长。
- D( g& X8 `- Y, j" eBLS 使用了另一种方法,不过略复杂。我们需要一个普通哈希函数 hash(x) (结果为一个数)和一个曲线哈希函数 H(x) 。开始多重签名时,还需要一个初始化过程,这之后,签名者之间就不再需要通信了,只需提供交易签名即可。
+ U8 J9 j% ]/ F7 v* ^* n" C' m举个简单的例子,我们要创建一个 2-3 多重签名,3 个签名存储在不同的设备上(这个例子可以扩展为任意的 m-n 多重签名)。, W/ T' T2 V& m  A7 V  O
初始化(生成成员密钥)用 i = 1,2,3 来表示集合中相应位置的设备,用 pki 表示私钥,用 Pi = pki×G 表示公钥。我们用前面说的方法来聚合公钥:
% \( f/ @/ ?9 FP = a1×P1+a2×P2+a3×P3, ai = hash(Pi, {P1,P2,P3})
+ D- j: J( p3 B& Z现在,每个设备都需要对每个 i 签名,以证明该 i 是聚合公钥中的一员。将签名聚合后,保存在对应的设备中:# `& f  q- {, ^* ~: R( y
MKi = (a1*pk1)*H(P, i) + (a2*pk2)*H(P, i) + (a3*pk3)*H(P, i)这个签名被称作“成员密钥”,稍后签名时我们会用到。每个成员密钥都是对消息体 H(P,i) 的 n-n 多重签名,即:3 U7 A- W1 c" J- o
e(G, MKi)=e(P, H(P,i))! k& N3 b! \% o3 d* e5 {
因为:
* S  c) ?' b2 l% J+ x, r1 E, Oe(G,Mki) = e(G, (a1*pk1)*H(P, i) + (a2*pk2)*H(P, i)
+ P( R' s" B+ }  p) U              + (a3*pk3)*H(P, i))% U: b9 p' m# t. H( Y2 m
         = e(G, (a1*pk1 + a2*pk2 + a3*pk3)*H(P, i))
( \) W4 v. Q0 a2 `1 o- P) A         = e(G*(a1*pk1 + a2*pk2 + a3*pk3), H(P, i))* P7 C- B9 _# ?7 ~
         = e((G*a1*pk1 + G*a2*pk2 + G*a3*pk3), H(P, i))) |/ i' W% K$ P2 r
         = e(P, H(P,i))记住这个等式,稍后还会用到。它用来证明某个设备是多重签名中的合法参与者。
8 L; n" q9 h9 m. g3 p# ~签名假设只用私钥 pk1pk3 给交易签名,我们会生成 2 个签名 S1S3
7 I7 K( T! [! V; J( RS1 = pk1×H(P, m) + MK1, S3 = pk3×H(P, m) + MK3将它们加起来,聚合成单一的签名和公钥:) u1 P% r& |! E5 u( g
(S’, P’) = (S1+S3, P1+P3)用 P’S’,是为了强调它们只是由部分签名者参与计算的(公钥和签名),而不像 P 那样是由所有签名者参与计算的(公钥)。为了验证 2-3 多重签名,需证明如下等式成立:
! [1 o; ?. a* A6 @e(G, S’) = e(P’, H(P, m)) * e(P, H(P, 1)+H(P, 3))上面说过,成员密钥 MK1MK3 是对消息 H(P, 1)H(P, 3) (消息本身由聚合公钥 P 签名)的签名,所以有:0 B! u- ], c+ Y
e(G, S’) = e(G, S1+S3)
' p: d) b* o- x4 v         = e(G, pk1*H(P, m)+pk3×H(P, m) + MK1 + MK3) 1 [4 x2 d8 A1 u7 @% s/ R
         = e(G, pk1*H(P, m)+pk3×H(P, m)) * e(G, MK1+MK3)
: C1 e, Q& E( y# s8 M* ]         = e(pk1*G+pk3*G, H(P, m)) * e(P, H(P, 1) + H(P, 3))$ I2 j0 Y3 M) c1 o# q
         = e(P’, H(P, m)) * e(P, H(P, 1)+H(P, 3))证明完毕。比 n-n 多重签名复杂一些,但仍然可以理解。
* Z8 \" e* g& g" {3 F在比特币中的实现要在比特币上部署一个 BLS 多签名钱包时,我们需要往某个地址(该地址由聚合公钥 P 生成)打钱。假设我们希望这是一个 2-n 多签名合约,那么可以用比特币的锁定脚本来描述,声明如下:
1 \# o0 Y" C' B" @2 P7 COP_2  OP_CHECK_BLS_MULTISIGOP_2 表示需要2个密钥进行签名。这里没有指明总共有 3 个签名,因此它可以表示 2-3 或者 2-100 等不同的多重签名地址。如此,总签名数永远不会暴露。
. o8 F" s# b' ~$ F5 G' F! W为了花掉输出(output)地址中的钱,则需要提供 P’ (公钥),S’(签名 )以及参与签名者的编号(这个例子中是 1 和 3)。解锁脚本如下:
9 H* t! j9 L( i, g: V* W) nOP_1 OP_3  脚本中有了这些信息,就足够用来验证交易了。其中,OP_1OP_3 告诉我们需要计算的曲线哈希为 H(P, 1)H(P, 3)
8 f/ ?. k# v8 ^如此,对于任意 mn 的多重签名,我们只需要以下信息:4 f# U: \1 m; ?  a
一个用在加锁脚本中的聚合公钥 P一个由部分参与者(m 个)生成的聚合公钥 P’ (用在解锁中)一个聚合签名 S’解锁要求的参与者数量 m一切简单而优美!$ _( N9 T! a! ]8 `
由于比特币地址通常只用一次,需要使用 BIP32 这种密钥推导算法生成新的私钥和地址。因此,每次生成新的私钥时,我们也需要生成对应的成员私钥,我不太喜欢这一点。为避免每次交易后都要初始化生成成员私钥,可以一次性地生成一批(比如 1000 个)成员私钥,毕竟每个私钥只占 32 字节。如此,当 1000 个地址用完后,我们才需要再次进行初始化。
; O. ]/ D. L- M5 u4 l0 [缺点鉴于大家在评论和 twitter 的提醒,我认识到有些地方我考虑欠周,会让你们误以为 BLS 签名算法是完美的。它并不完美。谢谢你们的提醒!( D  d$ T1 {( B- ?2 H0 W
我完全忽略了配对计算的高复杂度。我们曾认为配对函数 e(P, Q) 既高效又安全,实际上它并不完全是。1 M. o5 @# x5 w' a: T2 q' H: H
配对函数并不那么高效BLS 签名验证的复杂度要比 ECDSA 高上一个数量级。在验证区块中 1000 笔交易的聚合签名时,仍需要进行 1000 次配对计算,这可能比使用 ECDSA 时(对 1000 个单独签名进行验证)还要慢。唯一的好处在于,可以在区块中放更多笔的交易,毕竟聚合签名只占 32 字节。. j5 s% u, w( s% W* M- N6 J
与 BLS 不同,Schnorr 验证算法的效率很高,它可以把签名放一起验证,效率是 ECDSA 算法的三倍。这样,问题来了,效率和安全哪个对我们更重要?5 j# ^6 ?( p+ @( J3 w! ~# c
想要安全,更难!配对函数十分复杂,使用不当就会反受其累。一方面,我们希望用高效的配对函数来加快签名验证,另一方面,我们又希望密钥信息暴露越少越好。两者互相矛盾,我们需要异常小心地选择适宜配对的曲线。
$ G8 ~0 |; H* a$ T4 g7 a有一种针对椭圆曲线加密体系的攻击,叫 MOV 攻击(用攻击发现者 Menezes、Okamoto 和 Vanstone 的名字命名),它能利用配对函数来危害系统安全。所以,使用配对函数必须万分小心。
7 F* Z! N1 g7 @总结BLS 签名算法很出色——它能将区块中的签名聚合成单一签名;能进行密钥聚合和 m-n 多重签名(无需额外通信);能避免使用随机数生成器。这些优点使它显得如此简单优雅。当然,它仍有改进空间,标准化和优化也尚需时日。但我希望有朝一日,它能变得足够好,可以被纳入比特币协议中。这样的话,我们不但能获得它出色的功能,还可享受体积更小、聚合度更强的签名算法带来的好处。; p5 T* d) W* g0 {
BLS 算法的第一作者 Dan Boneh,目前正投身于对加密货币的研究,这使我异常兴奋。他是一位杰出的密码学家,他所执教的密码学课程也很棒。在这里,我还要推荐下他尚未完成的密码学著作。相信不久的将来,他和他的团队会带来更多针对加密货币的有趣方案和协议改进。
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