理解 BLS 签名算法

编者注：BLS 签名算法是一种可以实现签名聚合和密钥聚合的算法（即可以将多个密钥聚合成一把密钥，将多个签名聚合成一个签名）。在以太坊未来的 Casper 实现中，有非常多的验证者都要对区块签名，要保证系统的安全性，同时节约存储空间，就需要用到这类签名聚合的算法。
4 V) |+ I. M" W/ V0 o6 _. d& U之前的文章中，我介绍了 Schnorr 签名算法和它的优势。现在，我来介绍下 BLS（Boneh-Lynn-Shacham）签名算法以及它相比 Schnorr 的优胜之处。
长话短说，我们已经知道：
ECDSA 签名算法已经足够胜任它的工作，但也仅限于此。它无法做签名聚合或者密钥聚合，因此只能挨个对签名进行验证。在验证多重签名的交易时，此举过于繁琐，我们需要逐个验证所有的签名及其对应的公钥，耗费大量的区块空间和交易费。
Schnorr 签名算法就好多了，它可以把一笔交易中的所有签名和公钥合并成单个签名和公钥，且合并过程不可见（无从追溯这个签名或公钥是否通过合并而来）。另外，可以一次性对合并后的签名做验证，加快了区块验证的速度。当然，该算法也有一些不足:
多重签名需要多次（签名者之间的）通信，这对冷钱包来说过于麻烦。聚合签名算法依赖随机数生成器，而不像 ECDSA 那样可以使用指定的随机点（R）m-n 多重签名机制比较取巧，需要构建公钥的默克尔树。当 m 和 n 较大时，树所占空间会相当大。无法把一个区块中的所有签名聚合成一个签名BLS 签名算法可以解决以上问题。它不需要随机数生成器，可以将区块中的所有签名聚合成一个，容易实现 m-n 多重签名，也可以避免签名者之间的多余通信。除此之外，BLS 签名的长度更短（签名为椭圆曲线上的一个点而非两个），是 Schnorr 或 ECDSA 的 2 分之一。听起来完美！那么让我们看看 BLS 签名算法的工作原理。
BLS 签名算法的魔力进入正题前，我们先来了解两个基础概念，曲线哈希（hashingto the curve，或译作 “哈希成曲线上的点”）和曲线配对（curves pairing）。
曲线哈希在 ECDSA 和 Schnorr 签名算法中，我们对消息进行哈希计算后，结果（哈希值）是数字。BLS 签名算法则不同，它略微修改了哈希算法，结果对应到椭圆曲线上（的一个点）。最简单的修改是：哈希函数保持不变，将得到的哈希值作为点的 x 值寻找椭圆曲线上的对应点。通常来说（比如比特币所用的曲线），椭圆曲线有 2??? 个点，而 SHA-256 哈希算法的值也恰好是 256 位。不过，一个有效的 x 坐标，会对应一正一负两个 y 坐标（因为（x, y）和（x, -y）都是曲线 y?=x?+ax+b 上的点）。换句话说，新的哈希算法大约有 50% 的概率在曲线上找到 2 个对应点，另 50% 的概率则一个点也找不到（校对注：因为椭圆曲线只有 2^256 个点，如果要让每个哈希值都能找到对应点，椭圆曲线得有 2^257 个点才行）。
以在模为23的有限域上定义的椭圆曲线 y?=x?+7 为例。只有一半的 x 坐标在曲线上能找到对应点。此例中，我们尝试三次才成功找到对应点。
对消息求哈希时，为确保能在曲线上找到对应的点，可以在消息体后附加一个数，若（寻找对应点）失败则累加该数并重新计算。即如果 hash(m||0) 没有找到对应点，则持续尝试 hash(m||1), hash(m||2) 等，直到找到为止。当找到对应点后，在 2 个点中选择 y 坐标较小的那个作为结果即可。
曲线配对我们还需要一个特殊的函数，能够把一条（或2条不同的）曲线上的两个点 P 和 Q 映射为一个数：
e(P, Q) → n此函数还要有一个重要的特性。即对于未知数 x 和两个点 P 、 Q ，无论哪个点乘以 x，结果相同，即
e(x*P, Q) = e(P, x*Q)如此，除了乘数交换仍能保持等式成立外，更进一步，以下所有的交换都要保持等式成立：
e(a*P, b*Q) = e(P, ab*Q)
         = e(ab*P, Q)
         = e(P, Q)^(ab)我不准备解释这个函数是如何工作的。背后的数学原理相当复杂，如果你想知道所有 “令人厌烦” 的细节，我建议你参考这篇文章。如果你还想深入，可以研读这篇论文，它通篇讲述配对（pairings）理论。当前，我们只要假设这种函数存在，并且不会暴露 x 的任何相关信息。
值得注意的是，配对函数中不能使用任何椭圆曲线（特别是比特币的 secp256k1 椭圆曲线）。我们必须使用非常特殊的曲线（通常出自易于配对的曲线簇），才能保证函数的效率和安全。
BLS 签名方案现在，所有构建 BLS 签名算法的基础知识已经齐备。我们用 pk 代表私钥，P = pk*G 代表公钥，m 代表要签名的消息。
为了计算签名，先对消息求曲线哈希 H(m) ，再将获取的结果（曲线坐标点）乘以私钥即可：S = pk*H(m)。大功告成！不需要随机数，不需要额外的步骤，仅仅将哈希结果乘以私钥即可。签名结果是一个曲线上的点，用压缩的序列化格式保存，只占 33 个字节。
-生成 BLS 签名。将消息的哈希结果乘以私钥即可-我们可以使用公钥 P 来验证签名，即 e(P, H(m)) = e(G, S) 。这是为什么呢？
如前所述，配对函数的特性使得如下等式成立：
e(P, H(m))  = e(pk*G, H(m))
         = e(G, pk*H(m))
         = e(G, S)
- BLS 签名验证。我们只需验证公钥和消息的哈希值（曲线上两个点）与曲线生成点和签名（曲线上另两个点）是否映射到同一个数（若是则说明这是一个有效的 BLS 签名）-这个签名方案优美简单。对于比特币来说，该方案还有以下更棒的特性。
签名聚合现在让我们把区块中的签名都聚合在一起。假设一个区块中有 1000 笔交易，每笔交易都由 Si（签名），Pi （公钥）和 mi（消息）组成（i 在这里表示序号）。如果这些签名可以被合并，那又何必分开保存呢？毕竟，我们只关心区块中所有的签名（而不是每一个）是否正确。为获得聚合签名，只需要将区块中的所有签名加起来：
S = S1 + S2 +…+ S1000为验证该区块是否正确，我们需要保证以下等式成立：
为验证该区块是否正确，我们需要保证以下等式成立：
e(G, S) = e(P1, H(m1)) * e(P2, H(m2)) *…* e(P1000, H(m1000))如果签名都有效，那么该等式的确是成立的：
e(G, S) = e(G, S1+S2+…+S1000)
      = e(G, S1) × e(G, S2) *…* e(G, S1000)
      = e(G, pk1×H(m1)) *…* e(G, pk1000×H(m1000))
      = e(pk1×G, H(m1)) *…* e(pk1000×G, H(m1000))
      = e(P1, H(m1)) × e(P2, H(m2)) *…* e(P1000, H(m1000))这里我们仍需用到所有的公钥，并计算 1001 次配对函数，好处是，区块中的签名只占 33 字节了。签名聚合可以由矿工在挖矿时完成，节省大量的区块空间。
密钥聚合和 n-n 多重签名使用多重签名的地址时，我们会对同一笔交易用不同的密钥进行签名。这种情况下，可以和 Schnorr 算法一样使用聚合密钥，把所有密钥和签名聚合成单个公钥和签名。下面我们以 3-3 多重签名方案为例（同理可推导任意数量的多重签名方案）。
一种简单的聚合方法，是把所有的签名和密钥加起来即可。如此，签名聚合结果为 S=S1+S2+S3，密钥聚合结果为 P=P1+P2+P3。可以验证以下等式依然成立：
e(G, S) = e(P, H(m))因为：
e(G, S) = e(G, S1+S2+S3)
      = e(G, (pk1+pk2+pk3)×H(m))
      = e((pk1+pk2+pk3)×G, H(m))
      = e(P1+P2+P3, H(m)) = e(P, H(m))和 Schnorr 一样，我们也需要杜绝伪造密钥攻击。一种方法是要求每个签名参与者证明它拥有公钥对应的私钥（用私钥给公钥签名）。另一种方法是加入非线性系数，使得攻击无法实施。要做到这一点，聚合不再是简单的将多个密钥和签名相加，而是将它们分别乘以某个系数后再相加：
S = a1×S1+a2×S2+a3×S3
P = a1×P1+a2×P2+a3×P3
公式中签名和密钥的系数，可以通过签名者以及其它所有人的公钥计算得出，公式如下：
ai = hash(Pi, {P1,P2,P3})举个例子，可以简单的将签名者的公钥和所有人公钥拼接在一起算出系数：
ai = hash(Pi||P1||P2||P3)此时，上面的验证公式依然成立。虽然多了系数 ai，但计算逻辑未变。
该方案的好处是，无需在设备间进行多轮通信，只需知晓其它签名者的相应信息即可。它可比 Schnorr 算法（需要 3 轮通信）的多重签名方案简单多了。这个方案也不依赖随机性，是一种具有完全确定性的签名算法。
子群多重签名方案（m-n 多重签名）n-n 多重签名并不常见，我们更倾向使用 m-n 多重签名（比如 2-3 多重签名）。我们不想因为丢失（n 个密钥中的）一个密钥而一无所有。密钥聚合非常适合这种场景。在 Schnorr 签名算法中，我们用公钥组成的默克尔树来实现密钥聚合，这种方式效率不高，但是将将堪用。不幸地是，当 m 和 n 的值变大时，默克尔树的大小会呈指数增长。
BLS 使用了另一种方法，不过略复杂。我们需要一个普通哈希函数 hash(x) （结果为一个数）和一个曲线哈希函数 H(x) 。开始多重签名时，还需要一个初始化过程，这之后，签名者之间就不再需要通信了，只需提供交易签名即可。
举个简单的例子，我们要创建一个 2-3 多重签名，3 个签名存储在不同的设备上（这个例子可以扩展为任意的 m-n 多重签名）。
初始化（生成成员密钥）用 i = 1,2,3 来表示集合中相应位置的设备，用 pki 表示私钥，用 Pi = pki×G 表示公钥。我们用前面说的方法来聚合公钥：
P = a1×P1+a2×P2+a3×P3, ai = hash(Pi, {P1,P2,P3})
现在，每个设备都需要对每个 i 签名，以证明该 i 是聚合公钥中的一员。将签名聚合后，保存在对应的设备中：
MKi = (a1*pk1)*H(P, i) + (a2*pk2)*H(P, i) + (a3*pk3)*H(P, i)这个签名被称作“成员密钥”，稍后签名时我们会用到。每个成员密钥都是对消息体 H(P,i) 的 n-n 多重签名，即：
e(G, MKi)=e(P, H(P,i))
因为：
e(G,Mki) = e(G, (a1*pk1)*H(P, i) + (a2*pk2)*H(P, i)
            + (a3*pk3)*H(P, i))
      = e(G, (a1*pk1 + a2*pk2 + a3*pk3)*H(P, i))
      = e(G*(a1*pk1 + a2*pk2 + a3*pk3), H(P, i))
      = e((G*a1*pk1 + G*a2*pk2 + G*a3*pk3), H(P, i))
      = e(P, H(P,i))记住这个等式，稍后还会用到。它用来证明某个设备是多重签名中的合法参与者。
签名假设只用私钥 pk1 和 pk3 给交易签名，我们会生成 2 个签名 S1 和 S3：
S1 = pk1×H(P, m) + MK1, S3 = pk3×H(P, m) + MK3将它们加起来，聚合成单一的签名和公钥：
(S’, P’) = (S1+S3, P1+P3)用 P’ 和 S’，是为了强调它们只是由部分签名者参与计算的（公钥和签名），而不像 P 那样是由所有签名者参与计算的（公钥）。为了验证 2-3 多重签名，需证明如下等式成立：
e(G, S’) = e(P’, H(P, m)) * e(P, H(P, 1)+H(P, 3))上面说过，成员密钥 MK1 和 MK3 是对消息 H(P, 1) 和 H(P, 3) （消息本身由聚合公钥 P 签名）的签名，所以有：
e(G, S’) = e(G, S1+S3)
      = e(G, pk1*H(P, m)+pk3×H(P, m) + MK1 + MK3)
      = e(G, pk1*H(P, m)+pk3×H(P, m)) * e(G, MK1+MK3)
      = e(pk1*G+pk3*G, H(P, m)) * e(P, H(P, 1) + H(P, 3))
      = e(P’, H(P, m)) * e(P, H(P, 1)+H(P, 3))证明完毕。比 n-n 多重签名复杂一些，但仍然可以理解。
在比特币中的实现要在比特币上部署一个 BLS 多签名钱包时，我们需要往某个地址（该地址由聚合公钥 P 生成）打钱。假设我们希望这是一个 2-n 多签名合约，那么可以用比特币的锁定脚本来描述，声明如下：
OP_2  OP_CHECK_BLS_MULTISIGOP_2 表示需要2个密钥进行签名。这里没有指明总共有 3 个签名，因此它可以表示 2-3 或者 2-100 等不同的多重签名地址。如此，总签名数永远不会暴露。
为了花掉输出（output）地址中的钱，则需要提供 P’ （公钥），S’（签名）以及参与签名者的编号（这个例子中是 1 和 3）。解锁脚本如下：
OP_1 OP_3  脚本中有了这些信息，就足够用来验证交易了。其中，OP_1 和 OP_3 告诉我们需要计算的曲线哈希为 H(P, 1) 和 H(P, 3)。
如此，对于任意 m 和 n 的多重签名，我们只需要以下信息：
一个用在加锁脚本中的聚合公钥 P一个由部分参与者（m 个）生成的聚合公钥 P’ （用在解锁中）一个聚合签名 S’解锁要求的参与者数量 m一切简单而优美！
由于比特币地址通常只用一次，需要使用 BIP32 这种密钥推导算法生成新的私钥和地址。因此，每次生成新的私钥时，我们也需要生成对应的成员私钥，我不太喜欢这一点。为避免每次交易后都要初始化生成成员私钥，可以一次性地生成一批（比如 1000 个）成员私钥，毕竟每个私钥只占 32 字节。如此，当 1000 个地址用完后，我们才需要再次进行初始化。
缺点鉴于大家在评论和 twitter 的提醒，我认识到有些地方我考虑欠周，会让你们误以为 BLS 签名算法是完美的。它并不完美。谢谢你们的提醒！
我完全忽略了配对计算的高复杂度。我们曾认为配对函数 e(P, Q) 既高效又安全，实际上它并不完全是。
配对函数并不那么高效BLS 签名验证的复杂度要比 ECDSA 高上一个数量级。在验证区块中 1000 笔交易的聚合签名时，仍需要进行 1000 次配对计算，这可能比使用 ECDSA 时（对 1000 个单独签名进行验证）还要慢。唯一的好处在于，可以在区块中放更多笔的交易，毕竟聚合签名只占 32 字节。
与 BLS 不同，Schnorr 验证算法的效率很高，它可以把签名放一起验证，效率是 ECDSA 算法的三倍。这样，问题来了，效率和安全哪个对我们更重要？
想要安全，更难！配对函数十分复杂，使用不当就会反受其累。一方面，我们希望用高效的配对函数来加快签名验证，另一方面，我们又希望密钥信息暴露越少越好。两者互相矛盾，我们需要异常小心地选择适宜配对的曲线。
有一种针对椭圆曲线加密体系的攻击，叫 MOV 攻击（用攻击发现者 Menezes、Okamoto 和 Vanstone 的名字命名），它能利用配对函数来危害系统安全。所以，使用配对函数必须万分小心。
总结BLS 签名算法很出色——它能将区块中的签名聚合成单一签名；能进行密钥聚合和 m-n 多重签名（无需额外通信）；能避免使用随机数生成器。这些优点使它显得如此简单优雅。当然，它仍有改进空间，标准化和优化也尚需时日。但我希望有朝一日，它能变得足够好，可以被纳入比特币协议中。这样的话，我们不但能获得它出色的功能，还可享受体积更小、聚合度更强的签名算法带来的好处。
BLS 算法的第一作者 Dan Boneh，目前正投身于对加密货币的研究，这使我异常兴奋。他是一位杰出的密码学家，他所执教的密码学课程也很棒。在这里，我还要推荐下他尚未完成的密码学著作。相信不久的将来，他和他的团队会带来更多针对加密货币的有趣方案和协议改进。

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