Hi 游客

更多精彩,请登录!

比特池塘 区块链技术 正文

ECC椭圆曲线详解

朋友一起走
82 0 0
前言
. Y9 e' y! u9 C& z, g( z4 Y5 G3 I7 d2 U' ]. I: t
ECC英文全称"Ellipse Curve Cryptography"
9 L  T& F6 r' ~8 r3 Y! s7 K* E5 {: T1 G6 O' X- r- Y
与传统的基于大质数因子分解困难性的加密方法不同,ECC通过椭圆曲线方程式的性质产生密钥( q9 P3 }4 h' ~, d7 q
+ |# G7 Y' ~- M2 N2 {
ECC164位的密钥产生一个安全级,相当于RSA 1024位密钥提供的保密强度,而且计算量较小,处理速度更快,存储空间和传输带宽占用较少。目前我国居民二代身份证正在使用 256 位的椭圆曲线密码,虚拟货币比特币也选择ECC作为加密算法。) \1 _5 `# h& }. p2 d7 a

, c6 l7 c! A% {! Y1 l$ G从射影平面讲起" ~- q( e8 u  X+ x

# }  H1 }7 a4 Z5 b8 `古希腊数学家欧几里得的《几何原本》提出了五条公设。6 ]+ ?( |( {% @' Q" }: }% c( t7 k
1 x0 L- O- i8 C# u
1.由任意一点到任意一点可作直线。
+ F1 r# x8 Z* ]6 a* ]+ a  g$ [" U% V, n; q& L" m
2.一条有限直线可以继续延长。
2 B. H9 y! N2 p, c! r  t2 O; I- j4 O) U+ N4 A
3.以任意点为心及任意的距离可以画圆。
1 P6 R  Q2 `6 b. x& G: \, X5 b. D  W# V8 ~* [
4.凡直角都相等。
" J. ?- i4 Z# ]. g+ o( @2 g/ X; X' t+ G- Y
5.同一平面内一条直线a和另外两条直线b.c相交,若在a某一侧的两个内角的和小于两直角,则b.c两直线经无限延长后在该侧相交。
' @- `5 Z  f2 [) K1 G* Z
, q' ^. _* M- b" Y. a, a* ~) x" a《几何原本》只有在第29个命题* h9 n9 I) Q5 v/ J

' ?! _2 G' |% b7 E一条直线与两条平行直线相交,则所成的内错角相等,同位角相等,且同旁内角之和等于两直角+ u) g9 x" H: z9 Q

5 `) D1 A3 V6 R: D0 p# O) J中才用到第五公设,即《几何原本》中可不依靠第五公设而推出前28命题。因此,一些数学家提出,第五公设能不能不作为公设,而作为定理?能不能依靠前四个公设来证明第五公设?这就是几何发展史上最著名的,争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论
9 ~8 y1 R8 c, d& c/ [' P! f) p
3 f  L3 ^5 g- q6 k: h1820年代,俄国喀山大学罗巴切夫斯基用“至少可以找到两条相异的直线,且都通过P点,并不与直线R相交”代替第五公设,然后与欧氏几何的前四个公设结合成一个公理系统,他经过细致深入的推理过程中,得出了一个又一个在直觉上匪夷所思,但在逻辑上毫无矛盾的几何体系。  N$ [% k# K# j! z' `
9 q: K3 k( X  \" [' W& y$ R: b4 c
这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何,简称罗氏几何。从罗氏几何学中,可以得出这样一个结论:逻辑上不矛盾的一些公理都有可能提供一种几何学。现存非欧几何的类型可以概括如下:1 s" [( W0 E; a& B: P
4 o# ^6 f9 g, I. R6 S* ]9 F
1.坚持第五公设,引出欧几里得几何。
( m3 B+ K# `2 r" g* q5 [, F; M" q  V9 v; p# U
2.“可以引最少两条平行线”为公设,罗氏几何(双曲几何)。2 J, B! `/ S6 T0 h& B4 V/ D- R

* Q8 `9 u& ]( S: T7 M' _: x3 x( [3.“一条平行线也不能引”为公设,黎曼几何(椭圆几何)
9 z# q' P' t0 q9 `/ j" t6 ]) S/ x, [5 m$ h1 f- b! }! q2 }
左:双曲几何,即罗氏几何;中:欧几里德几何;右:椭圆几何,即黎曼几何2 N3 a: \+ w! l: [/ K8 P# k6 t

8 d5 T5 ]7 H# t3 F& H/ R* R( U了解非欧式几何,就可以理解平行线的交点。" l' A8 g" H$ A$ ]( A

0 R3 ^3 t- z" s+ a* P9 |定义平行线相交于无穷远点P∞,使平面上所有直线都统一为有唯一的交点8 `  P9 o: O+ g1 B( l

0 f+ f2 c$ N4 v. n( B9 x" y, P0 _性质:9 j5 d( _/ M5 O4 A
- _& Y1 d0 T: P" a# L9 k- R
1.一条直线只有一个无穷远点;一对平行线有公共的无穷远点
$ e$ D2 K- |* ]' r/ P
5 ^! h  l6 ~5 U9 `2.任何两条不平行的直线有不同的无穷远点(否则会造成有两个交点)
# i  a; i+ i* R) c: ]8 k$ U4 I( n8 d9 L1 F. @- _7 W
3.平面上全体无穷远点构成一条无穷远直线. ^/ P3 C. z# z6 O( u
3 n: l) l6 o/ |6 Y  Q
射影平面:平面上全体无穷远点与全体平常点构成射影平面
8 r2 Y$ R5 V' K% D6 i2 A' F1 h  }4 ]! H& n& R+ |# B  y5 {
射影平面点的定义2 s/ z) ?# s7 s% l
7 c# [  V2 Y' r
对普通平面上点(x,y),令x=X/Z,y=Y/Z,Z≠0,则投影为射影平面上的点(X:Y:Z)$ O$ |) ~% V# b3 Q- j# H: T

9 Z& R$ G; D0 W& s* T8 `求点(1,2)在新的坐标体系下的坐标; M) N7 H, `9 c
6 e9 v  S: Q) r* L: a/ A) Z) Z
∵X/Z=1 ,Y/Z=2(Z≠0)2 j9 k- J8 s; W9 B/ Y: k6 v
& d- N9 F' Z5 K
∴X=Z,Y=2Z ∴坐标为(Z:2Z:Z),Z≠07 K5 m& r' u! S5 s

$ I( u7 j* O; y' q' D/ y  D. i即(1:2:1)(2:4:2)(1.2:2.4:1.2)等形如(Z:2Z:Z),Z≠0的坐标都是(1,2)在新的坐标体系下的坐标
4 f( q% F1 X; C2 I, H% ^1 v% T/ \% ?& M  j
(2) 求平行线L1:X+2Y+3Z=0 与L2:X+2Y+Z=0 相交的无穷远点1 A; R6 V* _# e1 P% G

& N) v7 P* O% {/ r7 \∵ L1∥L2 所以有Z=0, X+2Y=0& D# P: D' r& z0 J  L+ H8 V/ C

1 Q# `* _; n4 U8 Z( t6 r∴坐标为(-2Y:Y:0),Y≠0
( u+ U1 C& d- n. Y( w; ^2 p! \  x1 t* _
) F% z0 [& L% S/ \即(-2:1:0)(-4:2:0)(-2.4:1.2:0)等形如(-2Y:Y:0),Y≠05 S- m7 j# \/ U7 N  E: l6 R. Z3 W

# @3 `* z. G1 ^+ Q4 K5 _% d6 V椭圆曲线
3 C+ F# S6 p2 x) E) T
* ^5 P; M! T2 p一条椭圆曲线是在射影平面上满足威尔斯特拉斯方程(Weierstrass)所有点的集合' _( R. D: C! _

! b" T/ h1 ~  i: }' W' ?Y2Z+a1XYZ+a3YZ2=X3+a2X2Z+a4XZ2+a6Z3
2 T7 b: U6 I/ T! Z! E. x; d6 |( X$ u- t6 U7 ~% B4 y( B
1椭圆曲线方程是一个齐次方程* X3 ^6 y7 O& ~

% B! l4 D  p0 c9 A" P7 t; h2曲线上的每个点都必须是非奇异的(光滑的),偏导数FX(X,Y,Z)、FY(X,Y,Z)、FZ(X,Y,Z)不同为0
& @$ j- C2 B& r* X( l9 ~5 ~( V5 S3 n3 s+ l2 k' ^/ n3 R% `
3圆曲线的形状,并不是椭圆的。只是因为椭圆曲线的描述方程,类似于计算一个椭圆周长的方程故得名' m7 E* e) @" {! Z
# \) I, x; }+ u$ f
椭圆曲线示例
0 X% k0 h+ A3 y, t: D5 O3 l4 _1 J1 P7 L8 E6 g: j
非椭圆曲线示例7 ?1 b; c2 |! v' l$ a$ s# q4 X
' ]# _3 z( O8 ~
这两个方程都不是椭圆曲线,因为他们在(0:0:1)点处(即原点)没有切线,不满足椭圆曲线每个点都必须是非奇异的(光滑的),
+ Q; A9 C/ j4 R- L9 W$ k) _8 Z# {' \/ B+ j* C( w
椭圆曲线普通方程* t- |3 n$ y! b; f; s" \
# z, s/ j& H) B) y; i' f
椭圆曲线普通方程:; _: t9 c. }' V# T& T

, K- h: h% g# d, ]9 ^0 P6 f2 s无穷远点 (0, Y, 0)1 o' H0 I" [; l% x( P# G" E1 g" ~7 Z

! C; \- t4 A2 l- ~, G$ a平常点(x,y)斜率k:
! ^; ^4 ]% Q' ?% H- o0 q' s
- K) D' X# i8 u9 ?椭圆曲线阿贝尔群! k7 Y2 R( d; ~) z0 S- u
  `, ?0 x1 w, y; ?7 D% {( {+ @- \
我们已经看到了椭圆曲线的图象,但点与点之间好象没有什么联系。我们能不能建立一个类似于在实数轴上加法的运算法则呢?这就要定义椭圆曲线的加法群,这里需要用到近世代数中阿贝尔群。
7 L5 b  Z  T- J4 l- y2 e  \0 c9 ], c; a; r; X
在数学中,群是一种代数结构,由一个集合以及一个二元运算所组成。已知集合和运算(G,*)如果是群则必须满足如下要求
  d3 ^3 C3 a8 y, w, ]* I. [3 L5 V8 m! ^! @* L% g$ h* F  F& F, k
封闭性:?a,b∈G,a*b ∈ G
+ N+ O$ {+ \7 J; Z+ [* F
1 u! p+ r8 T* N结合性: ?a,b,c∈G ,有 (ab)c = a* (b*c)+ p8 O1 b$ R9 _3 f
/ j0 T4 E& U# Y( H: |
单位元:ョe∈G, ?a ∈G,有ea = ae = a
3 \# s, A! W  ^8 Z  ?
4 s+ C' C! A5 ]/ \, o逆元: ?a ∈G ,ョb∈G 使得 ab = ba = e
1 n& j3 {: G' K+ R5 v/ Q0 h( a* B1 C; V0 F. j. g- m' ^
阿贝尔群除了上面的性质还满足交换律公理a * b = b * a  ^- r# }5 G& d7 u2 X

4 A0 g# [$ d  K4 {8 u- p  }! P同样在椭圆曲线也可以定义阿贝尔群。$ @5 T% G( f) o3 |* t

8 d: [& T9 {& a! `9 X任意取椭圆曲线上两点P、Q(若P、Q两点重合,则作P点的切线),作直线交于椭圆曲线的另一点R’,过R’做y轴的平行线交于R,定义P+Q=R。这样,加法的和也在椭圆曲线上,并同样具备加法的交换律、结合律
' N3 i+ R$ u3 M8 Y! z, J
. k2 f/ D5 k4 u( r: k$ I同点加法
& q( ?: `- X2 e& N% d/ ^
4 U9 d9 h; S* O若有k个相同的点P相加,记作kP4 p  P# n& w+ ?" x6 V
% o3 c' b' p( D! B1 w# \4 }
P+P+P=2P+P=3P  v4 S$ |) F1 _& ~4 K% x0 a0 M
: A" E" A! b6 }, U6 x  x0 ^) y
有限域椭圆曲线$ R9 v3 q* c' c  Y: d: m' C+ F
. ]) E# P/ |: k# B" Q: b
椭圆曲线是连续的,并不适合用于加密;所以,我们必须把椭圆曲线变成离散的点,我们要把椭圆曲线定义在有限域上。" n, {. q: t9 h" J

# @) r% U% P/ v3 o我们给出一个有限域Fp
, w6 x& @4 J0 J) Q9 d% n$ R3 ]/ p0 V, p
Fp中有p(p为质数)个元素0,1,2,…, p-2,p-1
3 W. B7 W1 L4 a. b& C
; m9 T  g, s/ h" m! B# C5 VFp的加法是a+b≡c(mod p)
' C" {2 }( h2 p
  B6 B9 _+ N5 s" P( c# ?Fp的乘法是a×b≡c(mod p)$ g  O6 z" T6 x% q" L9 d  c' b, B

. t, @3 h% L3 t+ f: l0 O, Y  X" ^1 zFp的除法是a÷b≡c(mod p),即 a×b^(-1)≡c (mod p),b-1也是一个0到p-1之间的整数,但满足b×b-1≡1 (mod p)7 i$ {! Z1 L5 [0 u' ]  l: D

' S& D; i& u$ n5 n7 u/ `: ~Fp的单位元是1,零元是 0
+ d2 o7 K, @: s% x: `: C2 H* O5 n/ f+ I; |, g
Fp域内运算满足交换律、结合律、分配律
: R1 V/ @  d" k( Y! p9 ]1 T- v1 D# x. U" x8 I% b
椭圆曲线Ep(a,b),p为质数,x,y∈[0,p-1]
1 T5 C# c' v" n1 ~. |$ I
' f% S7 z8 S: }  ]& ~选择两个满足下列约束条件的小于p的非负整数a、b( @8 g; C! h  w
; r7 B0 z* W# ?0 u. b+ {* l
Fp上的椭圆曲线同样有加法
7 `2 [4 \1 K4 Q9 R5 K6 X/ |* P8 g0 S# o( t7 z# a
1.无穷远点 O∞是零元,有O∞+ O∞= O∞,O∞+P=P
) ]- |- z; m# \* X, \+ E& L( k% K% V6 A3 P& o# f$ o( U
2.P(x,y)的负元是 (x,-y mod p)= (x,p-y) ,有P+(-P)= O∞
0 ]) O" N% `  V. Z. m3 |- m
( h4 o9 b7 M) d# V1 \/ d' v3.P(x1,y1),Q(x2,y2)的和R(x3,y3) 有如下关系:
2 ^' J$ G/ V2 H  z& B
6 S; x- i; W. D8 @6 Cx3≡k2-x1-x2(mod p)
! Y1 a& L) r0 F4 Z& H6 X* j+ L, t/ `! W; F
y3≡k(x1-x3)-y1(mod p)0 T% i. T- [" Y; m

/ e2 r% L; X5 S2 v- \7 S. q, J/ k& J若P=Q 则 k=(3x2+a)/2y1mod p4 I' l8 v; s/ I8 ^1 D0 B2 Z$ W
# h, p  T' p) @: q, i6 A, m
若P≠Q,则k=(y2-y1)/(x2-x1) mod p: L: O4 f+ p% m4 t. X8 {8 O/ f. k
$ K' J. }& `* w
例题椭圆曲线已知E23(1,1)上两点P(3,10),Q(9,7),求(1)-P,(2)P+Q,(3) 2P$ a4 V4 `1 w: o& e" K9 M
- C5 |2 p2 T4 A3 W
补充:* Q& O. D; ?. R' d( W3 V
+ J3 z# u/ c8 K2 k  K3 ]
-2^(-1) mod 23 进行两部分计算, h1 E- U% w* ]  Y0 p! L' o$ j" A

0 x+ y' o: h7 S4 C* z( b(1) 先算 2^(-1) 对应的数A, 在这里2^(-1)不是2的-1次方,而是2的逆元: t; ]. ]. M9 d% m* ]
# M7 N+ k& |4 K( A
(2) 再算-A mod 234 y, C% y. ]. G4 ~! `
6 F  U6 t8 O! ~+ e+ M
(1) 计算第一步
. s2 J, ^+ `8 y- O0 K
9 V6 y* z- N* _- Y0 z根据有限域除法规则 2 * 2^(-1) = 1 mod 239 w$ _: ~4 T8 C) [4 F$ l
. c" A# y, [( a
即 2A = 1 mod 23 ==> 2A = 23 + 1 == > A = 12
  c: s# Z- g0 \; [0 @. A5 |, L' X2 _" \, R  y2 K4 |/ y: b6 ]2 ~
(2) 计算第二步
- u0 \$ R7 L8 u3 o3 C' o4 B+ q) X! j( ^% Q: i& i
-A mod 23 ==> -12 mod 23 即 23 -12 = 11
0 O! D# t" Y1 }( g" p+ E. U* o3 O  K6 G1 ]# |' k2 y
所以有8 G0 _. M2 @/ z4 O3 m

! c" _1 X0 D! [$ C. X, r( l; ^-2^(-1) mod 23 = 113 V9 u7 K  e& w
4 T2 x1 y  a  |1 a
有限域椭圆曲线点的阶0 I! P8 ^$ @0 e& j  F
8 G4 U  Z1 F% e2 X
如果椭圆曲线上一点P,存在最小的正整数n使得数乘nP=O∞ ,则将n称为P的阶
4 y  S7 I8 @8 g$ {. o- x2 S: x% S) ~8 I( m  k+ c' ~/ K" S
若n不存在,则P是无限阶的
0 S* X: w! l. x8 a$ n2 I5 p: a/ K
计算可得27P=-P=(3,13)7 w9 [5 |+ N7 A2 }0 E/ G0 w
' A5 _: R  d2 q# K! s
所以28P=O ∞ P的阶为28
, G1 a' u& S$ L% |* u! O. z- h$ ?) S
这些点做成了一个循环阿贝尔群,其中生成元为P,阶数为29。显然点的分布与顺序都是杂乱无章! O* U* N% E3 \- T! j. @5 G" I
4 n* K- B7 K3 \. b
椭圆曲线加密# B! }, J" l3 I4 J6 [) x

$ e+ q" Q4 F  d: L考虑K=kG ,其中K、G为椭圆曲线Ep(a,b)上的点,n为G的阶(nG=O∞ ),k为小于n的整数。则给定k和G,根据加法法则,计算K很容易但反过来,给定K和G,求k就非常困难。因为实际使用中的ECC原则上把p取得相当大,n也相当大,要把n个解点逐一算出来列成上表是不可能的。这就是椭圆曲线加密算法的数学依据
% y  K9 w1 s. w3 |8 l6 |
" v; N  u, B1 R- ]点G称为基点(base point)
8 `) W9 i5 F) r7 @8 @' n2 T  ~; O% O. w8 v& U% W; J4 v
k(k! ]# P! m7 S( Q6 B/ k

* B% h5 s' L3 p7 u  tK为公开密钥(public key)% n1 |, N( [5 T0 K  r! ?0 m6 W

7 h1 i/ d, `2 O. M; O! P3 HECC保密通信算法
4 V% T. H: z, K1 L! X! g( C, Y( Y
8 ]' C9 _3 @+ \1.Alice选定一条椭圆曲线E,并取椭圆曲线上一点作为基点G 假设选定E29(4,20),基点G(13,23) , 基点G的阶数n=37/ M( {& d+ g3 k9 h& L
# }1 F, J: }" z4 C
2.Alice选择一个私有密钥k(k
4 m: {+ X9 ?* X# Y% V2 _% w
, o% E, v" ]" n) X% n8 I3.Alice将E和点K、G传给Bob* G% Q7 r9 I: t' J3 @
1 C% \8 Y0 ~) [9 R0 K
4.Bob收到信息后,将待传输的明文编码到上的一点M(编码方法略),并产生一个随机整数r(r- [8 V1 h1 ]4 N" F; Q4 {

+ A3 B( F" K: V5.Bob计算点C1=M+rK和C2=rG C1= M+6K= M+625G=M+2G=(3,28)+(27,27)=(6,12) C2=6G=(5,7)
) }. Q! E" S0 n; R7 \4 p1 v) P+ S4 m. |
6.Bob将C1、C2传给Alice
7 W0 u7 K) T  K  p8 ?$ j
+ e' M: R  m& f! ~7.Alice收到信息后,计算C1-kC2,结果就应该是点M C1-kC2 =(6,12)-25C2 =(6,12)-25*6G =(6,12)-2G =(6,12)-(27,27) =(6,12)+(27,2) =(3,28)
" P$ a1 q2 E+ L* ?/ Y* W( O9 N, ?1 Q4 v( w: t9 l( @
数学原来上能解密是因为:C1-kC2=M+rK-krG=M+rkG-krG-M
7 [5 _/ a( x1 e, N2 [$ E. j1 i2 O9 e  g! l
ECC技术要求- o/ H' {2 B, a3 d

9 ]3 _4 J! g8 o, K1 u; ^( L; C通常将Fp上的一条椭圆曲线描述为T=(p,a,b,G,n,h)p、a、b确定一条椭圆曲线(p为质数,(mod p)运算)G为基点,n为点G的阶,h是椭圆曲线上所有点的个数m与n相除的商的整数部分2 Z+ k* b. S; F3 A# R/ D; D

6 s. k* |  s, ~参量选择要求:
8 J$ J* v  C/ H; R8 l( {3 a6 v
7 r3 q5 r$ t1 ?3 h4 M( T$ D; Ep越大安全性越好,但会导致计算速度变慢200-bit左右可满足一般安全要求n应为质数h≤4;p≠n×h ;pt≠1(mod n) (1≤t<20)4a3+27b2≠0 (mod p)
# t  Y  @& e1 ]& [1 o% d' j) K' u
ECC的应用
0 U: @5 z0 R! M+ ]4 Z4 w$ u1 `2 P; [0 b; T8 z( a" ?  T
比特币系统选用的secp256k1中,参数为/ O* G% @  x0 ~- H3 A

1 M" M$ m$ A! S- w' G# `$ Tp = 0xFFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFE FFFFFC2F = 2^256 ? 2^32 ? 2^9 ? 2^8 ? 2^7 ? 2^6 ? 2^4 ? 19 s7 g3 a2 ~$ t
! ]" o# [* W% ~( J
a = 0, b = 7
+ \/ @- A! v4 Q4 E, W' X2 L) Q" f2 g& G$ R3 w& o
G=(0x79BE667EF9DCBBAC55A06295CE870B07029BFCDB2DCE28D959F2815B16F81798, 0x483ada7726a3c4655da4fbfc0e1108a8fd17b448a68554199c47d08ffb10d4b8)
$ h4 j6 n) G2 z2 @/ q" u* o3 P; e1 @! X2 J# i+ j
n = 0xFFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFE BAAEDCE6 AF48A03B BFD25E8C D0364141
1 j5 ~5 L: K% A: O6 G/ W$ n! y: l& e; \5 ^( Z, H7 ^
h = 01
' T  D  p- Z0 k4 M) w" b: [; C8 g+ o% ^! a( f/ y' T
ECC vs. RSA - 优缺点# W  `& }  }* N5 s0 w

7 ]+ v2 L* N0 K, e* ?" q$ C优点- I9 M1 P2 ^6 q

& O' U9 q/ S; P安全性能更高
3 U! |. [7 ~' C, u( B& ?1 m% o+ \9 z; w
160位ECC与1024位RSA、DSA有相同的安全强度/ `  l& |2 E) j0 H5 l
5 O$ v* A7 D. [* h
处理速度更快4 M4 r( N5 a3 T$ O8 q7 V
6 ^, j7 m, W6 F; `; K, i$ B- k
在私钥的处理速度上,ECC远 比RSA、DSA快得多
5 g1 {) D. |# i" L) ^* d7 U2 K; X- ?1 w, Y/ m
带宽要求更低
" W2 ]. v3 b: P# G7 B. R
% X. Z* ?! g& n5 ]! t8 m# X存储空间更小
; j! w* a% k* p  D( ]( J* |" V* x* ^
ECC的密钥尺寸和系统参数与RSA、DSA相比要小得多1 z3 V; ~) T; k# r  y
% i0 U1 K0 `' b& D# b
缺点  Z3 c/ b# B; s

+ m! V* T; C7 }/ V( l% `7 S设计困难,实现复杂" h: a/ l* W% ^, A% ]

: c) F2 L& v* R$ W% O/ l5 X如果序列号设计过短,那么安全性并没有想象中的完善' b. X; ]6 ]+ p" P+ R; E

) o6 R3 r9 f4 k# Z, ]# T
标签: ECC 椭圆曲线
BitMere.com 比特池塘系信息发布平台,比特池塘仅提供信息存储空间服务。
声明:该文观点仅代表作者本人,本文不代表比特池塘立场,且不构成建议,请谨慎对待。
您需要登录后才可以回帖 登录 | 立即注册

本版积分规则

成为第一个吐槽的人

朋友一起走 初中生
  • 粉丝

    0

  • 关注

    0

  • 主题

    16