本文作者为万向区块链、PlatON首席经济学家邹传伟。
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! u, k7 A3 I1 w7 \3 u2020 年 1 月，由比特币核心开发人员 Pieter Wuille 于去年 5 月提出的 Taproot/Schnorr 软分叉升级提案已正式作为比特币改进提案（BIPs）发布，相关提案序号为 BIP 340-342。Taproot/Schnorr 升级如果获得社区支持，将是比特币自闪电网络上线后最大的技术拓展。本文查询了 BIP 340-342 相关文档 ，对 Taproot/Schnorr 升级做一个简单介绍。本文分三部分，第一部分简单介绍比特币目前的 ECDSA 签名算法，第二部分详细介绍 Schnorr 签名算法，第三部分介绍 Taproot。
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一、比特币 ECDSA 签名算法( i" f; Q* ~  u  Z
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比特币目前使用的 ECDSA 签名算法与建议的 Schnorr 签名算法，都属于椭圆曲线数字签名算法，它们使用的椭圆曲线都是 secp256k1。这一部分先介绍椭圆曲线 secp256k1，再介绍 ECDSA 签名算法。2 h! M3 B) v) \) \- p6 u- ~

6 e, E' L( ~+ F+ V4 _（一）椭圆曲线 secp256k19 p. D, T2 L- F7 a3 x
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（二） ECDSA 签名算法6 f/ u1 N# Y0 d

6 Z# [6 A( H# e" [注： G 坐标为 （79BE667EF9DCBBAC55A06295CE870B07029BFCDB2DCE28D959F2815B16F81798, 483ADA7726A3C4655DA4FBFC0E1108A8FD17B448A68554199C47D08FFB10D4B8）， 阶等于 FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFEBAAEDCE6AF48A03BBFD25E8CD0364141， 均采用 16 进制表达。! l! B& f9 ~: Y! e, j" v
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二、Schnorr 签名算法# h% }2 I6 W3 ~

8 x# f5 e4 w- U/ H9 b这一部分先介绍 Schnorr 签名算法主要特点，再分步骤介绍 Schnorr 签名算法及批验证，最后介绍基于 Schnorr 签名的多重签名算法。
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3 ~( |8 c8 X" X, Y9 ^（一）主要特点Schnorr 签名算法与 ECDSA 签名算法使用同样的椭圆曲线 secp256k1 和哈希函数 SHA256，所以在这个层面它们具有同样的安全性。Schnorr 签名算法主要有以下优点。. A" _4 t8 i1 {/ s
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第一，Schnorr 签名算法有可证明安全性。在假设椭圆曲线离散对数问题难度的随机寓言（Random Oracle）模型，以及假设原像抗性（Preimage Resistance）和次原像抗性（Second Preimage Resistance）的通用群模型下，Schnorr 签名算法具备选择消息攻击下的强不可伪造性（Strong Unforgeability under Chosen Message Attack，SUF-CMA）。换言之，如果不知道 Schnorr 签名的私钥，即使有针对任意消息的有效 Schnorr 签名，也没法推导出其他有效 Schnorr 签名。而 ECDSA 签名算法的可证明安全性则依赖于更强的假设。
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第二，Schnorr 签名算法具有不可延展性（Non-malleability）。签名延展性的含义是，第三方在不知道私钥的情况下，能将针对某一公钥和消息的有效签名，改造成针对该公钥和信息的另一个有效签名。ECDSA 签名算法则有内在的可延展性，这是 BIP 62 和 BIP 146 针对的问题。7 }% c5 C7 l$ b# H& |+ s

' F% t4 D4 w( N第三，Schnorr 签名算法是线性的，使得多个合作方能生成对他们的公钥之和也有效的签名。这一特点对多重签名、批验证（Batch Verification）等应用非常重要，既能提高效率，也有助于保护隐私。而在 ECDSA 签名算法下，如无额外的见证数据，批验证相对逐个验证并无效率提升。
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1 p# ^; m0 y$ J* D# \$ e- ^最后，Schnorr 签名算法因为使用同样的椭圆曲线 secp256k1 和哈希函数 SHA256，能兼容目前的比特币公私钥生成机制。
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* t5 ~8 ~: W9 J$ r5 U( g/ l: u（二） Schnorr 签名算法0 V& g6 N, q2 l2 v1 G# _& O2 j5 Q
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公私钥生成/ ?( p2 S/ X( E, C4 \0 R
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签名生成
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签名验证  v  r1 C7 O, a1 l5 t1 c

# L7 V" Q) s" \+ ^( o) [8 c) c批验证
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（三） Schnorr 签名算法与多重签名+ T: U# N* F  ^5 Q# C8 ]; x
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密钥生成2 u2 i% ?6 v. c
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签名生成3 n0 Q  H8 G- q7 B4 k' |

( Y$ w- R2 }! O1 U签名验证
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三、Taproot 升级) G  ^( v/ t- X0 E& `2 J( F
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Taproot 升级可以视为默克抽象语言树（Merkelized Abstract Syntax Tree，简称 MAST）的一个应用，而 MAST 又与支付到脚本哈希（Pay-to-Script-Hash，简称 P2SH）有关。因此，这部分依次介绍 P2SH、MAST 和 Taproot。& s/ `9 a3 z- a: e
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（一） P2SHP2SH 是 2012 年推出的一类新型交易，使复杂脚本的使用与直接向比特币地址支付一样简单。在 P2SH 中，复杂的锁定脚本被其哈希值所取代，称为兑换脚本（Redeem Script）。当随后出现的一笔交易试图花费这个 UTXO 时，必须包含与哈希值匹配的脚本，同时解锁脚本。P2SH 的主要优点包括：一是在交易输出中，复杂脚本由哈希值取代，使得交易代码变短。二是将构建脚本的负担转移至接收方，而非发送方。三是隐私保护性更好。理论上，除了接收方，任何其他方都可以不知道兑换脚本中包含的支出条件。比如，在多重交易中，发送方可以不知道与多重签名地址有关的公钥；只在接收方支出资金时，才披露公钥。但 P2SH 也存在不足：一是所有可能的支出条件最终都必须被披露，包括那些实际上没有被触发的支出条件。二是在有多个可能的支出条件时，P2SH 将变得繁复，会增加计算和验证的工作量。
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（二） MASTMAST 使用默克树来加密复杂的锁定脚本（图 3），其叶子是一系列相互不重叠的脚本（比如，多重签名或时间锁）。要支出时，只需披露相关脚本以及从该脚本通向默克树根的路径。比如，在图 3 中，要使用 script 1，只需披露 script 1、script 2 以及 hash 3 即可。
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MAST 的主要优点包括：一是支持复杂的支出条件。二是不用披露未被执行的脚本或未被触发的支出条件，提供更好的隐私保护。三是压缩交易大小。随着脚本数量的增加，非 MAST 交易大小是线性增长，而 MAST 交易大小是对数增长（图 4）。$ O& m; q3 `4 [
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* v! r( E$ h! H（三） Taproot但 P2SH 与常见的支付到公钥哈希（Pay-to-Public-Key-Hash，P2PKH）在表现上不一样，仍然有隐私保护问题。有没有可能让 P2SH 和 P2PKH 在链上看起来一样？这就是 Taproot 要解决的问题。0 x6 q, ^! `7 w' M' x. w

8 z. Z; ]# @& c6 \2 ?+ n4 \; R涉及有限数量签名者的脚本，可以分解成两部分：第一部分是多重签名，所有签名者都同意某一支出结果，称为「协作式支出」；第二部分称为「非协作式支出」，可以有非常复杂的脚本结构。这两部分是「或」的关系。比如，在图 3 中，Script 3 是一个 2-of-2 型多重签名，需要 Alice 和 Bob 两人都签名才有效，是「协作式支出」；Script 1 和 2 是「非协作式支出」。