V神：以太坊状态爆炸问题，多项式承诺方案可解决

关于这一研究，这里要感谢很多人提供的帮助，尤其是（1）AZTEC团队向我介绍了复制约束（ copy constraint）参数、排序参数以及有效的批范围证明方法；（2）Datery Khovratovich和Justin Drake在Kate 承诺部分提供的方案，（3）Eli ben Sasson关于FRI提供的反馈，以及（4）Justin Drake进行的审查工作。这篇文章只是第一次尝试，如果有进一步的重要思考，我确实希望该方案能够被类似但更好的计划所取代。
太烦不看版总结：
我们建议用称为“多项式承诺”（polynomial commitments）的神奇数学来替代默克尔树（Merkle tree）来累积区块链状态。好处包括：将无状态客户端的见证内容（witnesses）的大小减少到接近于零。这篇文章提出了利用多项式承诺进行状态累积所存在的挑战，并提出了具体的构建方法。
什么是多项式承诺（polynomial commitments）？
多项式承诺是多项式P（x）的一种‘哈希’，其具有可对哈希执行算术检查的属性。
例如，在三个多项式P（x），Q（x），R（x）上，给定三个多项式承诺h_P = commit(P(x)), h_Q = commit(Q(x)), h_R = commit(R(x))，然后：

如果P(x) + Q(x) = R(x)，你可以生成一个证明（proof），证明它和h_P, h_Q, h_R的关系（在某些构造中，你可以简单地检查h_P + h_Q = h_R）；

如果P(x) * Q(x) = R(x)，你可以生成一个证明（proof），证明它和h_P, h_Q, h_R的关系；

如果P(z) = a ，你可以针对h_P生产一个证明（称为开放证明opening proof或简称opening）你可以将多项式承诺用作vector承诺，类似于默克尔树（Merkle tree）。多项式承诺的一个主要优点是，由于其数学结构的原因，其生成复杂证明要容易得多（详细解释见下文）。
有哪些流行的多项式承诺方案？
当前有两个领跑者，它们分别是Kate承诺（在这篇文章中搜索 “Kate”）以及基于FRI的承诺。你可能还听说过防弹证明（Bulletproofs）和DARKs算法，这些是替代型多项式承诺方案。而要了解有关多项式承诺的更多信息，YouTube上有相关的内容（part 1，part 2，part 3，以及幻灯片）。
多项式承诺在以太坊中有哪些容易应用的场景？
我们可以用多项式承诺来替换目前区块数据的默克尔根（例如以太坊2.0的分片区块），并用开放证明替换默克尔分支（Merkle branches）。这给我们带来了两个很大的优势。首先，数据可用性检查会变得容易，并且不会存在欺诈，因为你可以简单地以随机方式（例如一个N次多项式的2N个坐标中的40个）请求开放。非交互式的托管证明也可能变得更容易。
其次，说服多数据片段的轻客户端也变得更加容易，因为你可以制造一个同时涵盖多个索引的有效证明。对于任何集{(x_1, y_1), ..., (x_k, y_k)}，定义三个多项式：

通过所有这些点的插值多项式I(x)；

在x_1，...，x_k等于0的零多项式Z（x）=（x-x_1）* ... *（x-x_k）；

商多项式Q（x）=（P（x）-I（x））/Z（x）；商多项式Q（x）的存在，意味着P(x) - I(x)是Z（x）的倍数，因此P（x）-I（x）为零，其中Z(x) 为零。这意味着对于所有i，我们都有P(x_i) - y_i = 0，即P(x_i) = y_i。验证者（verifier）可以生成插值多项式和零多项式。证明（proof）由对商的承诺，加上随机点z上的开放证明组成，因此，我们可以对任意多个点拥有一个常数大小的见证内容（witness）。
这种技术可以为区块数据的多次访问提供一些好处。然而，其对于一种不同的用例而言，存在的优势就要大得多：证明区块交易账户witness。平均而言，每个区块会访问数百个账户和存储密钥，这导致潜在的无状态客户端的见证内容大小会有0.5 MB大小。而多项式承诺多见证（multi-witness），根据方案的不同，可以将区块witness的大小从数万字节减少到几百字节。
那我们可以使用多项式承诺来存储状态吗？
大体上，我们是可以的。相比将状态存储为默克尔树（Merkle tree），我们选择将状态存储为两个多项式S_k(x) 和S_v(x) ，其中S_k（1），...，S_k（N）表示键（key），而S_v（1），.. 。，S_v（N）表示这些键（key）上的值（如果值大于字段大小，则至少表示这些值的哈希值）。
为了证明键值对（k_1，v_1），...，（k_k，v_k）是状态的一部分，我们将提供索引 i_1, ..., i_k 并（使用上面提到的插值技术）显示与索引匹配的键和值，即k_1 = S_k(i_1), ..., k_k = S_k(i_k) 和 v_1 = S_v(i_1), ..., v_k = S_v(i_k)。
为了证明某些键（key）的非成员性，可以尝试构造一个奇特的证明，证明键（key）不在S_k（1），…，S_k（N）中。相反，我们只需对键（key）进行排序，以便证明非成员身份就足以证明两个相邻key的成员身份，一个小于目标key，一个则大于目标key。
而这和Justin Drake提出的使用SNARKs/STARKs来压缩witness以及相关的想法有着相似的好处，另外一个好处是，由于证明是累加器密码学原生的，而不是构建在累加器密码学上的证明，因此这消除了一个数量级的开销，并移除了对零知识证明友好哈希函数的需求。
但这里存在着两个大问题：

为k个密钥生成witness需要的时间是O（N），其中N是状态的大小。而预计N对应的状态数据会有大约50 GB，因此在单个区块中生成这样的证明是不实际的；

2、用k个新值更新S_k(x)和S_v(x) 花费的时间也需要O（N）。这在单个区块中是不切实际的，特别是考虑到诸如witness更新和重新排序之类的复杂性。下面我们将介绍应对这两大问题的解决方案。
高效读取（Efficient reading）
我们提供了两种解决方案，一种针对Kate承诺而设计，另一种则是针对基于FRI的承诺。不幸的是，这些方案具有不同的优点和缺点，从而会导致不同的属性。
1、Kate承诺首先，请注意，对于N次多项式f，有一种方案可生成N个对应于O(N * log(N))时间中每个q_i(x) = (f(x) - f(i)) / (X - i)的开放证明。
还请注意，我们可以按以下方式合并witness。考虑这样一个事实，q_i(x)只是一个离开f（x）/（X-i）的子常数（sub-constant）项，通常，已知f/((X - x_1) * ... * (X - x_k))是f /（X-x_1），...，f /（X-x_k）使用部分分式分解（ partial fraction decomposition）的某种线性组合。只需知道x坐标就可以确定具体的线性组合：只需提出一个线性组合c_1 * (x - x_2) * ... * (x - x_k) + c_2 * (x - x_1) * (x - x_3) * ... * (x - x_k) + ... + c_k * (x - x_1) * ... * (x - x_{k-1})，其中不存在非常数项，这是k个未知数中的k方程组。
给定这样的线性组合，我们得到的东西仅是离开f/((x - x_1) * ... * (x - x_k))的一个子常数项（因为所有原始误差都是子常数的，所以线性错误的组合必然是sub-constant），因此它必然是商 f(x) // ((x - x_1) * ... * (x - x_k))，其等于期望值(f(x) - I(x_1 ... x_k, y_1 ... y_k)) / ((x - x_1) * ... * (x - x_k))。
一个可能的挑战是，对于大的状态，一个实际可计算的单一可信设置（例如，100多个独立参与者，因此只要其中任何一个是诚实的，方案就是安全的）是不够大的：例如，PLONK设置只能容纳约3.2 GB。相反，我们可以有一个由多个Kate承诺组成的状态。
我们对很多承诺作如下单一witness。为证明
，首先让（这是fi和1的线性组合，因此验证者verifier可以实时计算此承诺）。witness是；如果Q是一个多项式，则F实际上在那些位置为零，因此fi在其位置具有期望值。2、基于FRI的承诺我们将状态存储在一个二维多项式F（x，y）的求值中（每个变量的阶数为sqrt（N）），并致力于对4*sqrt(N) by 4*sqrt(N) square求值F。
我们将所有我们关心的值存储在位置 (x, x**sqrt(N))，因此它们都具有唯一的x坐标。（请注意，在很多情况下，这些位置会超出我们承诺求值的4*sqrt(N) by 4*sqrt(N) square，而这无关紧要。）
为了证明在一组点x_1, ..., x_k上的求值，我们构造了一个k次多项式路径（x），其在x_i处的求值为x_i ** sqrt（N）。
然后，我们创建一个多项式h(t) = F(t, path(t))，其中包含对(x_i, y_i)的所有期望求值，并且具有k*（1+sqrt（N））次。
我们在求值域中选择随机的30列c_1 ... c_k，对于每列查询30个随机行。我们承诺于h（使用FRI证明它实际上是一个多项式），为z_i = h(c_i)提供一个多开口（multi-opening），并对列商 (R_i - z_i) / (X - path(c_i))进行FRI随机线性组合，以验证h（c_i）的声明值是正确的，因此h(t) 实际上等于F(t, path(t))。
使用二维多项式的原因是，这确保了我们不必对所有F进行任何计算；相反，我们只需要对我们选择的随机30行F进行计算（即30*sqrt（N）），加上阶为 p * (sqrt(N) + 1)的h，创建FRI进行的计算大约为p * sqrt(N) 。可以将此技术扩展到二维以上的多项式，以将sqrt因子降低到更低的指数。
高效写入（Efficient writing）我们通过一系列的承诺，来解决与更新包含整个状态的单个承诺相关的挑战，较大的承诺，其更新频率也就较低：

区块本身，具有“读取见证”(R_k(x), R_v(x))和“写入见证”（W_k（x），W_v（x）），表示要写入状态的值。注意，我们可以设置W_k = R_k，并在运行时计算W_v。

第一个缓存C1 =（C1_k（x），C1_v（x））存储最近一天的更新内容；

第二个缓存C2等于前一天的最后一个C1；

满状态S = （S_k（x），S_v（x））包含时间超过1-2天的值；
我们将使用的方法如下。为了从状态中读取一些键k，我们将依次读取C1, C2, S 。如果键位于某C1_k（x）处，则对应的值C1_v（x）存储该值，如果键位于C2_k（x），则C2_v（x）存储该值，依此类推，如果键位于S_k（x），则S_v（x）存储该值。如果这些检查都没有返回键，则该值为0。
复制约束（copy constraint）参数的简介
复制约束参数，是我们将使用的witness更新证明的关键组成部分；有关复制约束参数如何工作的详细信息，请参见此处。简而言之，该想法是选择一个随机r，并生成一个“累加”多项式ACC（x），其中ACC（0）= 1 且ACC（x + 1）= ACC（x）*（r + P（x））。你可以通过开放读取ACC(y) / ACC(x)，来读取x .... y-1范围内的点累加器。你可以使用这些累加器值，将这些求值与其他求值集（作为多集）进行比较，而无需考虑排列。
你还可以通过设置ACC(x+1) = ACC(x) * (r + P_1(x) + r2 * P_2(x)) 来证明某些随机r和r2的求值元组（即多集{(P_1(0), P_2(0)), (P_1(1), P_2(1)), ...}）的等价性。多项式承诺可有效用于证明有关ACC的主张。
为了证明子集，我们可以做相同的事情，除了我们还要提供一个指标多项式ind（x），证明该ind(x)在整个范围内等于0或1，并设置ACC（x + 1）= ACC（x ）*（ind（x）*（r + P（x））+（1-ind（x）））（即，如果指标为1，则在每一步乘以r + P（x），否则不使用累加器值）。
小结：

我们可以证明a和b之间的P（x）求值，是a和b（或某些不同的c和d）之间Q（x）求值的置换；

我们可以证明a和b之间的P（x）求值，是a和b（或一些不同的c和d）之间Q（x）求值置换的子集；

我们可以证明P（x）和Q（x）的求值，是R（x）和S（x）置换，其中P-> Q和R-> S是相同的置换；在下面的内容中，除非明确说明，否则我们将偷懒地表述为“P是Q的置换”，意思是“P在0和k之间的求值，是Q在0和k之间对适当k求值的置换”。请注意，下面的内容中，我们还会涉及到每个witness的“大小”，以确定我们接受的任何C_k中的坐标，而超出范围的C_k（x）值当然不计算在内。
映射合并参数（Map merging argument）
为了更新缓存，我们使用了“映射合并参数”。给定两个映射A=（A_k（x），A_v（x））和B=（B_k（x），B_v（x）），生成合并映射C=（C_k（x），C_v（x））以便：

C_k中的键被分类；

对于0

对于0 我们用一系列复制约束参数来实现这一点。首先，我们生成两个辅助多项式U（x），I（x），它们分别表示A_k和B_k的“并集”和“交集”。将A_k，B_k，C_k，U，I视为集合，我们首先需要展示：
1、A_k ? U；
2、B_k ? U；
3、I ? A_k；
4、I ? B_k；
5、A_k + B_k = U + I；
我们预先假设在A_k和B_k中没有重复，这意味着A_k（i）！= A_j（j）对于范围内的i！= j与B_k相同（因为在之前使用此算法时已对此进行了验证）。由于I是A_k和B_k的子集，所以我们已经知道I也没有重复的值。通过使用另一个复制约束参数来证明U和C_k之间的等价关系，证明了U中没有重复项，并证明C_k是已排序且无重复的。我们用一个简单的复制约束参数证明A_k + B_k = U + I声明。
为了证明C_k已排序且没有重复，我们证明C_k（x + 1）> C_k（x）的范围为0 ... size（C_k）。我们通过生成多项式D_1（x），...，D_16（x），并证明C（x + 1）-C（x）= 1 + D_1（x）+ 2 ** 16 * D_2（x）+ 2 ** 32 * D_3（x）+...来做到这一点。本质上，D_1（z），...，D_16（z）将差异存储在基2**16中。然后，我们生成一个多项式E（x），其满足所有D_1，...，D_16的复制约束以及f（x）= x，并且满足 E(x+1) - E(x) = {0, 1} 限制（对E的2次约束）。我们还检查了E（0）= 0以及E（size（C_k）* 16 + 65536）= 65535。
关于E的约束表明，E中的所有值都夹在0和65535（包括0和65535）之间。对D_i的复制约束，证明D_i（x）中的所有值都在0到65535（含）之间，这证明了它是一个正确的16进制表示，从而证明了C_k（x+1）-C_k（x）实际上是一个正数。
现在，我们需要证明value（值）。我们添加另一个多项式U_v（x），并验证：

在0...size(B)的(U, U_v)等于在0...size(B)的 (B_k, B_v)；

在size(B) ... size(A)+size(B) 的(U, U_v) ，是（A_k，A_v）在0...size(A)的一个子集；目标是在U中，我们先放置来自B的所有值，然后再放置来自A的值，并使用相同的置换参数来确保键（key）和值（value）被正确复制。然后我们验证（C_k，C_v）是（U，U v）的一个置换。
使用映射合并参数
我们按照下面的方式使用映射合并参数，假设每天有BLOCKS_PER_DAY个区块。

如果block.number % BLOCKS_PER_DAY != 0，我们验证(C1_k, C1_v) = merge((W_k, W_v), (C1_old_k, C1_old_v))（将区块合并到C1）；

如果block.number % BLOCKS_PER_DAY == 0，我们验证(C1_k, C1_v) = (W_k, W_v) 以及(C2_k, C2_v) = (C1_old_k, C1_old_v) （也就是说，我们“清除” C1并将其内容移入C2）；请注意，C2具有一整天的时间，在此期间它保持不变。我们为任何人产生（S_k，S_v）= merge（（S_old_k，S_old_v），（C2_k，C2_v））的证明提供奖励；提供此证明后，我们将承诺（S_k，S_v）更新为新值，并将（C2_k，C2_v）重置为空。如果S在当天没有更新，则我们将C1-> C2传输延迟到更新为止；请注意，该协议确实取决于S的更新速度是否足够快。如果这不可能发生，那么我们可以通过添加更多层缓存的层次结构来解决这个问题。
从糟糕的FRI中恢复
对于FRI的情况，注意，有可能会出现有人生成的FRI在某些位置无效，但这不足以阻止验证。这不会立即造成安全风险，但可能会阻止下一个更新者生成witness。
我们通过以下几种方法来解决这个问题。首先，注意到某些FRI生成错误的人，可提供自己的FRI。如果通过相同的检查，它将被添加到可构建下一次更新的有效FRI列表中。然后，我们可以使用交互式计算游戏来检测和惩罚不良FRI的创建者。其次，他们可提供自己的FRI以及STARK来证明其有效，从而立即罚没了无效FRI的创建者。通过FRI生成STARK是非常昂贵的，尤其是在较大规模时，但这样做是值得的，因为这可以赚取很大一部分无效提议者的保证金奖励。
因此，我们有了一种机制来使用多项式承诺，以此作为一个有效读取和写入witness来存储状态。这使我们能够大幅度减少见证内容（witness）大小，同时也可以带来一些好处，比如让我们有能力对数据可用性进行检查，以及实现关于状态的托管证明。

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