质押与流动性的问题是当前Staking面临的挑战之一，区块链投资机构Placeholder联合创始人Joel Monegro提出把 Balancer 池代币（Balancer pool tokens）用作流动性证明，用它代替该网络的代币进行质押，这样一来，流动性就可以随质押的增长而增长。

本文就质押与流动性问题，对传统的权益证明和流动性证明方案试作分析。

为了分析这个问题，我们需要一些理想化的假设来简化这个问题。
假设1 权益币的价格由某一理想化的稳定币唯一定价。该稳定币即不会因为通货膨胀而贬值，也不会因为通货紧缩而升值。
假设2 权益币对应一个稳定币池。该稳定币池中稳定币的数量为M，且恒定不变。
假设3 权益币的价格由稳定币池中稳定币数量与未锁定的权益币数量之比唯一确定。
假设4 在时间段t内，权益币的增发率为，p为常数，p>0。
假设5 取任意充分小，在时间段内，矿工的期望收益率为，且以稳定币计价，q为常数，q>0。
注：这里没有采用这样的表述“在时间段t内，矿工的期望收益率为，且以稳定币计价，q为常数，q>0”。因为这要求矿工将所有收入即刻全部重新投资以产生复利。这是不合理的。
假设6 在时间段t内，矿工费为，且以稳定币计价，r为常数，r>0。
设初始时刻，权益币数量为N。设在时刻t处，权益币的质押比例为，权益币价格为。
1、传统的权益证明(Proof of Stake)
公式1.1
由假设3可得。
公式1.2
证明：设
该式第一项为时刻t处，被质押的权益币在时刻处的总价。该式第二项为在时间段内增发的权益币在时刻处的总价。该式第三项为在时间段内获得的矿工费。
近似为矿工在时刻处以稳定币计价的资产。
由假设5得，。

证毕。
由于的复杂性，这里只考虑均衡状态下的情形，即。此时，。
此时，币价为其合理价格的倍。
结论： 传统的权益证明方案确实会导致币价被高估。
2、流动性证明(Proof of Liquidity)
假设2.1 有唯一的Balancer池，池内仅有两种资产，50%价值的权益币和50%价值的稳定币，比例恒定不变。
假设2.2 Balancer池内资产的数量调整能够在瞬间完成，且不产生任何交易费用。
假设2.3 Balancer池内资产与Balancer池代币L对应，且能随时兑换，不产生任何交易费用。
假设2.4 Balancer池代币L是唯一能够用作质押挖矿的代币，其权益由Balancer池代币所代表的权益币数量实时确定。
假设2.5 生成的Balancer池代币都会被用于质押挖矿，未被用于质押挖矿的Balancer池代币都会立即被兑换。
设在时刻t处，1个Balancer池代币所代表的稳定币数量为，所代表的权益币数量为，以稳定币计价的价格为。
假设2.6 。
公式2.1
由假设3可得。
公式2.2
公式2.3
证明：下面考虑区间，其中充分小。
在时刻处，数量为的权益币的总价由原来的变为。

取一充分大的整数n，将时间段等分为n份。由以上分析可知，

公式2.4
证明：设
该式第一项为时刻t处，被质押的Balancer池代币在时刻处的总价。该式第二项为在时间段内增发的权益币在时刻处的总价。该式第三项为在时间段内获得的矿工费。
近似为矿工在时刻处以稳定币计价的资产。
由假设5得，。

证毕。
考虑这个等式。当偏大时，q会偏小，这时过低的收益会使一部分矿工退出，从而使减小。当偏小时，q会偏大，这时过高的收益会吸引一部分矿工加入，从而使增大。由此可见，能够完美地实现动态平衡！
结论： 流动性证明方案在经济上可行。