BloomFilter布隆过滤器 简介
丈黑起恋秘
发表于 2022-12-2 10:19:44
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布隆过滤器(英语:Bloom Filter)是1970年由布隆提出的。它实际上是一个很长的二进制向量和一系列随机映射函数。布隆过滤器可以用于检索一个元素是否在一个集合中。它的优点是空间效率和查询时间都远远超过一般的算法,缺点是有一定的误识别率和删除困难。# c$ o8 T- ?! |2 A3 w
布隆过滤器 (Bloom Filter)是一种space efficient的概率型数据结构,在垃圾邮件过滤的黑白名单方法、爬虫(Crawler)的网址判重模块中等等经常被用到。哈希表也能用于判断元素是否在集合中,但是布隆过滤器只需要哈希表的1/8或1/4的空间复杂度就能完成同样的问题。布隆过滤器可以插入元素,但不可以删除已有元素。其中的元素越多,false positive rate(误报率)越大,但是false negative (漏报)是不可能的。
基本概念
如果想判断一个元素是不是在一个集合里,一般想到的是将集合中所有元素保存起来,然后通过比较确定。链表、树、散列表(又叫哈希表,Hash table)等等数据结构都是这种思路。但是随着集合中元素的增加,我们需要的存储空间越来越大。同时检索速度也越来越慢,上述三种结构的检索时间复杂度分别为 O(n),O(log n),O(n/k)。
布隆过滤器的原理是,当一个元素被加入集合时,通过K个散列函数将这个元素映射成一个位数组中的K个点,把它们置为1。检索时,我们只要看看这些点是不是都是1就(大约)知道集合中有没有它了:如果这些点有任何一个0,则被检元素一定不在;如果都是1,则被检元素很可能在。这就是布隆过滤器的基本思想。
算法描述
一个empty bloom filter是一个有m bits的bit array,每一个bit位都初始化为0。并且定义有k个不同的hash function,每个都以uniform random distribution将元素hash到m个不同位置中的一个。在下面的介绍中n为元素数,m为布隆过滤器或哈希表的slot数,k为布隆过滤器重hash function数。
为了add一个元素,用k个hash function将它hash得到bloom filter中k个bit位,将这k个bit位置1。) r; T3 e" d l, V3 q9 c0 a$ n+ g
为了query一个元素,即判断它是否在集合中,用k个hash function将它hash得到k个bit位。若这k bits全为1,则此元素在集合中;若其中任一位不为1,则此元素比不在集合中(因为如果在,则在add时已经把对应的k个bits位置为1)。
不允许remove元素,因为那样的话会把相应的k个bits位置为0,而其中很有可能有其他元素对应的位。因此remove会引入false negative,这是绝对不被允许的。
当k很大时,设计k个独立的hash function是不现实并且困难的。对于一个输出范围很大的hash function(例如MD5产生的128 bits数),如果不同bit位的相关性很小,则可把此输出分割为k份。或者可将k个不同的初始值(例如0,1,2, … ,k-1)结合元素,feed给一个hash function从而产生k个不同的数。
当add的元素过多时,即n/m过大时(n是元素数,m是bloom filter的bits数),会导致false positive过高,此时就需要重新组建filter,但这种情况相对少见。4 ^" v( u+ ~9 [+ Z |- Q
优点
相比于其它的数据结构,布隆过滤器在空间和时间方面都有巨大的优势。布隆过滤器存储空间和插入/查询时间都是常数(O(k))。另外,散列函数相互之间没有关系,方便由硬件并行实现。布隆过滤器不需要存储元素本身,在某些对保密要求非常严格的场合有优势。
布隆过滤器可以表示全集,其它任何数据结构都不能;: k* j5 F* Q, Z3 G1 h
缺点
但是布隆过滤器的缺点和优点一样明显。误算率是其中之一。随着存入的元素数量增加,误算率随之增加。但是如果元素数量太少,则使用散列表足矣。' w" Z! z, i0 ?7 _7 ^/ o0 ?
另外,一般情况下不能从布隆过滤器中删除元素。我们很容易想到把位数组变成整数数组,每插入一个元素相应的计数器加1, 这样删除元素时将计数器减掉就可以了。然而要保证安全地删除元素并非如此简单。首先我们必须保证删除的元素的确在布隆过滤器里面。这一点单凭这个过滤器是无法保证的。另外计数器回绕也会造成问题。
在降低误算率方面,有不少工作,使得出现了很多布隆过滤器的变种。. S. o7 n" V4 Z
举例说明布隆过滤器的空间优势
先来一个结论:对于一个有1%误报率和一个最优k值的布隆过滤器来说,无论元素的类型及大小,每个元素只需要9.6 bits来存储。这个优点一部分继承自array的紧凑性,一部分来源于它的概率性。如果你认为1%的误报率太高,那么对每个元素每增加4.8 bits,我们就可将误报率降低为原来的1/10。add和query的时间复杂度都为O(k),与集合中元素的多少无关,这是其他数据结构都不能完成的。k是hash函数的个数。* _* H* X2 O! c: L* @
举例: 现有1亿个email的黑名单,元素的数量(即email列表)为 108。若采用布隆过滤器,取k=8(k为hash函数个数)。因为n为1亿,所以总共需要8*108。又因为在保证误判率低(后面解释)且k和m选取合适时,空间利用率为50%(后面会解释),所以总空间为. V. ]! ?: K8 h8 H' E0 T
# V; h+ Z% H* [; x, |/ J) S
空间优势$ O$ X+ P. } o4 Y `! j+ p
所需空间比上述哈希结构或者数组小得多,并且误判率在万分之一以下。为什么可以这样算,可以看下面。# @( n5 w c' p1 m
误判概率的证明和计算
该过程的详细说明来自于这个文章http://www.cnblogs.com/allensun/archive/2011/02/16/1956532.html,为了看懂求导过程,需要复习数学知识。
对某一特定bit位在一个元素由某特定hash function插入时没有被置位为1的概率为:# l ^8 d: @) C! ~
! I5 Q/ d/ t. B: c: K7 @
则k个hash function中没有一个对其置位的概率为:. m" O, X' h9 O5 p, u, G9 e
Z0 E7 T( O( d Y, y9 p1 i
如果插入了n个元素,但都未将其置位的概率为:6 y; O# V4 p) y! f3 Y- z! y
6 V) j D/ S# K4 j. E- w& D2 q
现在考虑query阶段,若对应某个待query元素的k bits全部置位为1,则可判定其在集合中。因此将某元素误判的概率为:
4 k& A4 \! Y( Y* x
由于
2 _; Z5 ~' |# C2 U7 ~
,并且1/m 当m很大时趋近于0,所以
现在计算对于给定的m和n,k为何值时可以使得误判率最低。设误判率为k的函数为:* E9 l, T1 f' z8 K5 @% l) t
: d/ M/ R( K: g `( d+ S4 w, d
设' C) A9 b# }* l% e
; B! W/ B0 e" } @
则简化为
因为等式右边的底数上是函数,指数上也是函数,没有方法求这样组合函数的导数,只能取对数之后,变成乘法。我们有两个函数相乘的求导方法,求导的几个方法可以看参考资料,有很好的视频说明。 y3 z0 L5 B/ g7 v+ Z% w: ]
两边取对数得
两边对k求导得,这边涉及到乘法求导,对数求导,幂函数求导:
下面求最值,3 O7 b* g) P% X) F: p, Y
红圈中的等式是把两边看成xln(x)这种形式得到的,和该函数的单调性相关。数学上能不能这么操作我还不太清楚。数学好的大神可以留言解释一下。
因此,即当8 K" n c- E* i3 I
- I% z- ]3 z8 u
时误判率最低,此时误判率为:
: p7 y4 L& P% }! o5 L- R7 g+ A
可以看出若要使得误判率≤1/2,则:
e. x: h! |+ d; R! _
这说明了若想保持某固定误判率不变,布隆过滤器的bit数m与被add的元素数n应该是线性同步增加的。- g( o' o. n0 N, a4 v
设计和应用布隆过滤器的方法% w" ^8 G1 L6 V) `: ]( V4 G
应用时首先要先由用户决定要add的元素数n和希望的误差率P。这也是一个设计完整的布隆过滤器需要用户输入的仅有的两个参数,之后的所有参数将由系统计算,并由此建立布隆过滤器。 f4 H/ ~4 i% Z2 ^+ S
系统首先要计算需要的内存大小m bits:
再由m,n得到hash function的个数:9 J1 ]8 q2 Z* a/ {
! _0 @# {. ]' g" R9 |
至此系统所需的参数已经备齐,接下来add n个元素至布隆过滤器中,再进行query。" U: S) e9 s3 z' z7 e' ~
根据公式,当k最优时:
因此可验证当P=1%时,存储每个元素需要9.6 bits:6 k+ l# ^: d/ H7 d& b
而每当想将误判率降低为原来的1/10,则存储每个元素需要增加4.8 bits:
1 |. b0 @3 j0 e3 e2 q
这里需要特别注意的是,9.6 bits/element不仅包含了被置为1的k位,还把包含了没有被置为1的一些位数。此时的
才是每个元素对应的为1的bit位数。
' n6 _# M- f+ o. o7 R3 r% R
从而使得P(error)最小时,我们注意到:
中的+ d% k. c- f. Z- {- s
,即
7 y3 Z- n7 U1 I, Y
此概率为某bit位在插入n个元素后未被置位的概率。因此,想保持错误率低,布隆过滤器的空间使用率需为50%。
Neo中的布隆过滤器
上面的内容大部分抄袭http://www.cnblogs.com/allensun/archive/2011/02/16/1956532.html,原作者写的太好了,我只是加上一些我的理解,方便数学不好的道友理解。下面我们看看Neo中的Bloom Filter。8 w3 J5 v2 W( x2 C6 U" E, F
using System.Collections;
using System.Linq;6 y2 c/ e- A" j9 y: }! G
namespace Neo.Cryptography2 h7 k! h1 f+ @, U, r2 V# {
{
public class BloomFilter
{3 w q* T) J- t7 k
private readonly uint[] seeds;
private readonly BitArray bits;
public int K => seeds.Length;5 E- a) { Y% o# Q
public int M => bits.Length;
public uint Tweak { get; private set; }
public BloomFilter(int m, int k, uint nTweak, byte[] elements = null)) s _5 A6 ^/ @ A
{ v `8 Y) S+ p' _6 a" {
this.seeds = Enumerable.Range(0, k).Select(p => (uint)p * 0xFBA4C795 + nTweak).ToArray();
this.bits = elements == null ? new BitArray(m) : new BitArray(elements);# n. X& I, X& s
this.bits.Length = m;
this.Tweak = nTweak;/ I: l5 S# l* k
}
public void Add(byte[] element)) w" ~. N$ U3 A3 X' }, j& K4 D
{
foreach (uint i in seeds.AsParallel().Select(s => element.Murmur32(s)))
bits.Set((int)(i % (uint)bits.Length), true);
}8 ~- L# S- S$ p: q% S* P9 X
public bool Check(byte[] element)
{0 k1 e6 G9 L1 w0 h
foreach (uint i in seeds.AsParallel().Select(s => element.Murmur32(s))): n5 z' E/ S$ I P: O- @! l5 w
if (!bits.Get((int)(i % (uint)bits.Length)))
return false;* u" V! T3 q0 E7 `# r, D
return true;
}
public void GetBits(byte[] newBits)
{
bits.CopyTo(newBits, 0);
}
}' |. j; _4 T/ e8 ?
}
前面讲了这么多,代码竟然这么短,分析分析。4 _/ {" S( w/ p6 ~& R3 d
构造函数传入了m(多少位),k(hash函数种类),这个和我们前面分析根据p(错误率),和n(要插入的元素)来构造的思路不一样。所以Neo的这个版本应该是一个简化版本,输入的数据n应该是有范围的,具体的范围我们后面运行整个区块链的时候在观察,现在不知道n的个数有多大。hash函数使用了Murmur32,然后传入不同的seed模拟不同的hash函数,这个是可以的。使用linq,函数式编程代码非常简洁,这也是C#的一个优势啊。add,check函数都很容易看懂,确实实现很简洁。; j. g! `' {6 T! L* L0 A" E
总结/ r; ?- @- ~+ q7 M, _1 O' z1 y3 P
Bloom Filter是牛逼的数据结构,因为有很多数学知识在里面,虽然代码不长,但是能看完这篇文章的人,会感受到代码之美。
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